[科普中国]-三角方程组

所谓三角方程组(system of trigonometric equations)是指方程组中或仅仅包含三角方程，或包含三角方程和代数方程。如果一个未知数能表示为另一个未知数的显式，那么可将三角方程组化为含单变量的一个方程。有些三角方程组，可根据三角式的恒等变换而化为代数方程组1。

三角函数方程组的解法原理三角函数方程组的解法原理，与代数学中解方程组的方法类似：它们都是首先通过代数的或三角的变换， 逐渐消去未知数，直到化为含有唯一的未知量的普通方程并对它求解，然后再把这个解代入到其他各式中，求其全部解2。

解三角方程组的注意事项解三角方程组时要注意以下四点：

1. 消去三角方程组中的未知数，一般除了使用代入法外，还常常利用各种三角公式与代数变换。 特别地， 当问题有不同情况时，也常要求有不同的方法，这些并没有固定的规律可循，这是求解三角方程组的一个很大困难，克服这个图难的办法，要求三角公式运用熟练，多作题目，多见类型，逐步提高分析问题的能力。

2. 求得方程组的解之后，与代数中解方程组一样， 也得一组一组地把解分别列出，并将所得的每组解一一代入到原方程组中进行检验，去掉增加根，并要注意遗根。代入检验是很麻烦的，一般方法是只把在区间上的角代入进行检验，而不把解的一般形式代入到方程组中，这样可使计算简单些2。

3. 所求得的解，有时还要求受到一定条件的约束，常见的情况有:

(1)当解中含有形如arcsin2或arcsin(-2)这样的项时，由于这样的项不可能代表任何确定的角，故应在说明之后舍去。

(2)当解中含有形如的项时，由于我们只在实数范围内讨论三角函数，显然必须满足条件

且

并由此求得x的取值范围。但是， 我们约定，只要题目中没有明确提出要求，我们并不进行讨论，即认为这样已经求得了最后结果。

4. 由于

所以， 当方程的系数为文字系数时，方程组解的形式往往随所采取的解法不同而有不同。但是，不管解的形式怎样，只要合理就行，并不需要化为一致。当方程的系数为普通数字时，我们也这样办，但遇到这种情况的机会要少一些2。

例题解析1.解方程组：

解：显然

且

因为

（即），所以，从方程（1）得，由此，

和。

2.解方程组2：

解:由（1）得

使（3）代入（2）

所以

使，则，所以

代入（3）

使，则，所以

代入（3），有

答：方程组的解为

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方正 - 副教授 - 江南大学