[科普中国]-水平集方法

水平集方法（Level Set Method） 是一种用于界面追踪和形状建模的数值技术.水平集方法的优点是可以在笛卡尔网格（Cartesian grid）上对演化中的曲线曲面进行数值计算而不必对曲线曲面参数化（这是所谓的欧拉法（Eulerian approach））。水平集方法的另一个优点是可以方便的追踪物体的拓扑结构改变.例如当物体的形状一分为二，产生空洞，或者相反的这些操作.所有这些使得水平集方法成为随时间变化的物体建模的有力工具，例如膨胀中的气囊， 掉落到水中的油滴。

简介水平集方法（Level Set Method） 是一种用于界面追踪和形状建模的数值技术。水平集方法的优点是可以在笛卡尔网格（Cartesian grid）上对演化中的曲线曲面进行数值计算而不必对曲线曲面参数化（这是所谓的欧拉法（Eulerian approach））。水平集方法的另一个优点是可以方便的追踪物体的拓扑结构改变。例如当物体的形状一分为二，产生空洞，或者相反的这些操作。所有这些使得水平集方法成为随时间变化的物体建模的有力工具，例如膨胀中的气囊， 掉落到水中的油滴。1

水平集方法理解水平集方法的最简单有效地方式是先学习相应的例子，然后学习技术性很强的定义。右侧的图片示例了水平集的几个重要思想。在左上角有一个形状--由一个良性边界包围的有界区域。在它的下面，红色的曲面是相应的水平集函数的图像，的某个水平面决定了左上角的形状，假设其中的蓝色平面即为x-y平面，则形状的边界可以表示为的零水平集，并且该形状是平面上满足大于等于零的点的集合。

在上面的一行，形状改变其拓扑结构，分裂为两个形状。如果用边界曲线参数表示形状，这一演化过程是很难表达的。这需要一个算法能够检测到形状分裂的时刻，然后为分裂后的曲线构造新的参数。另一方面，从下面的一行可以看出水平集函数仅仅是向下方移动了一点。由于在直接法中我们需要监视所有形状可能发生的变化情况，水平集方法处理形状曲线要比直接方法容易得多。

在二维情况下，水平集方法意味着将平面上的闭曲线(正如示例中的形状)表示为二维辅助函数的零水平集

然后通过函数隐式的处理曲线这一函数便被叫做水平集函数。假设在曲线的内部取正值，在曲线的外部取负值。1

水平集方程如果零水平集以速度v沿着其法线运动，这一运动可以表示为水平集函数的哈密顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）：

这是一个偏微分方程，并且可以求得数值解，例如可以在笛卡尔网格上采用有限差分法。

然而，水平集方程的数值解需要复杂的技术。简单的有限差分法会很快导致不收敛。迎风方法，诸如Godunov方法前进缓慢;然而在水平对流场中，水平集方法不保持水平集的体积和形状的守恒。1

历史美国数学家Stanley Osher和James Sethian于20世纪80年代开发出了水平集方法。这一方法在许多学科广泛使用，例如图像处理，计算几何，最优化和计算流体力学。

大量的有关水平集数据结构被开发出来，使得水平集方法在计算中的应用变得更加方便。2

参阅流体体积法

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所