[科普中国]-鲁洛克斯三角形

鲁洛克斯三角形(Reuleaux triangle)又称“勒洛三角形”、“莱洛三角形”、“圆弧三角形”，是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形。鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径a(等于正三角形的边长)的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触。机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来，这一性质是鲁洛克斯(F.Reuleaux)在研究机械分类时发现的。

基本介绍“鲁洛克斯三角形”是这样得到的：先画正三角ABC，然后以正三角形ABC的三个顶点为圆心，边长长为半径画弧得到的图形，如图11。

等宽曲线

圆和圆弧三角形具有这样一个特征：不论从什么方向用两条平行线去夹逼它，这两条平行线间的距离总是一样的。我们称具有这种性质的图形叫做“等宽曲线”(或定宽图形)。

等宽曲线最初的定义由一个十九世纪的德国工程师Franz Reuleaux给出的：将一一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这两条平行线间的距离称为等宽曲线的宽度。

圆弧三角形又叫莱洛三角形、鲁洛克斯三角形，是由机械学家、数学家莱洛首先发现的，故而得名1。

Reuleaux三角形的性质边长为a的鲁洛克斯三角形的宽度为a，直径为a的圆的宽度也为a，同宽度的鲁洛克斯三角形与圆具有一些相同的性质：

(1)显然，作为宽度为a的等宽曲线，鲁洛克斯三角形或圆上任意两点间的距离不会超过a。

(2)将它们放在一个边长为a的正方形内旋转时，都能够始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，且两对边的公共点的连线互相垂直。

(3)它们有相同的周长。

边长为a的鲁洛克斯三角形的周长为 ，直径为a的圆的周长为。

Reuleaux三角形的应用常见的钻头钻出的孔都是圆形的，那有没有可能钻出的方形的孔呢1?

由于鲁洛克斯三角形在一个边长为其宽度的正方形内转动时，任何时候都有四个点与正方形的四条边接触(不一定相切)且接触点的位置是不断改变的(如图2所示)，因而成了机,械学家莱洛设计方孔钻头灵感的来源，而促使他发现了圆弧三角形和造出了方孔钻头。

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当然,这种圆弧三角形的钻头钻出来的不是标准的正方形，而是如图2(c)所示的圆角正方形。因为鲁洛克斯三角形的中心即为正三角形的中心(三条中线的交点)，所以，当莱洛三角形钻头转动时，它的中心也不像圆孔钻那样固定不变。

鲁洛克斯三角形这一特性，也被用于汪克尔(Wankd)发动机，在这种发动机中，鲁洛克斯三角形的活塞就在正方形封闭体内旋转。马自达(Mazda)汽车发动机就是这样，当莱洛三角形转子转动的时候，转子边缘与转子壳体内壁之间会形成容积呈周期性平滑变化的3个工作室。

鲁洛克斯三角形曾上过高考卷，2011年高考数学江西卷(文)第10题：如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系x轴上方,其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成。

今使“凸轮”沿x轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为( )。

答案:A。

解析：中心M点到x轴的距离按照增大、减小、增大、减小、.....的规律变化，最高点到x轴的距离一直为圆的半径，所以选A。

由鲁洛克斯三角形的启发，可知还有更多的等宽曲线。如以正五边形ABCDE的五个顶点为圆心，以对角线AC=a之长为半径画五段圆弧，就可以作出一个圆弧五边形，它便是一个宽度为a的等宽曲线(如图5所示)。类似地，还可作出圆弧七边形、圆弧九边形...得到各种“菜洛多边形”，它们都是等宽曲线1。

但是，如果您想用边数为偶数的正多边形作出一条等宽曲线，已被证明是不可能的。

上面所说的都是正多边形组成的等宽曲线，其实，只需对角线相等而边长不一定相等的奇数边多边形，都可形成等宽曲线(如图6)。

可以看出，上面作出的圆弧多边形都有尖角(在两条弧的交点处)，是否可以将尖角清除，让它光滑一些呢?

事实上，以莱洛三角形为例，只需经过如下的“处理”，就可以作出与其相应没有任何尖角顶的光滑的新的等宽曲线。

方法一 把等边三角形的各边向两个方向 延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长。由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了，如图7(a)所示(图7(b)为五边形等宽曲线图形)。

方法****二 找到等边三角形的外接圆圆心，分别连接外心与三角形的三个顶点。取三条线段中点，以这三点为圆心，以二分之一线段长为半径画圆，内部圆弧与外部圆弧的交点间的内部圆弧即可克服鲁洛克斯三角形的尖点。

值得注意的是，等宽曲线不只限于圆弧等宽曲线，人们已发现了完全不包含圆弧的等宽曲线，那是一类特殊的卵形曲线。因此我们可以说等宽曲线还有许多离奇奥妙的性质和用途等待我们去探究1。

本词条内容贡献者为:

任毅如 - 副教授 - 湖南大学