[科普中国]-单直尺作图-

单直尺作图(construction with a ruler)是一种作图方法，即只用一个直尺为工具的几何作图。早在1759年，朗伯(J.H.Lambert)在苏黎世为他出版的著作中，只用一个直尺解了一整套几何作图题，他是单直尺作图的鼻祖。此后，彭赛列(J.-V.Poncelet)也着手于用直尺作图的研究，于1822年在他的著作《图形的射影性质》中，论述了“在平面上已知一圆及其圆心时，则直尺和圆规能解的作图问题，只用直尺就能得解”。对这一事实，施泰纳(J.Steiner)在他的著作《一个定圆与直线可解的几何作图》中，给了进一步的论证1。

基本介绍用直尺、圆规解几何作图问题，是一种传统的规定，它是根据几何公理确定的。关于限制工具的作图问题，数学家们进行过许多研究，如尺规作图问题，尺规作图不能问题，单直尺或者单圆规作图问题，即只用一个直尺或只用一个圆规进行作图，得出了一些重要的结果2。

人们往往认为由于允许使用工具种类越多，则能解的作图题范围越广，所允许使用的工具越少，则能解的作图题的范围便将缩小，其实并不如此。意大利数学家马奢罗尼(L.Mascheroni, 1750-1800)在1799年发表了他的著作《圆规几何学》，在这里他提出了所谓单圆规作图法。他证明了，如果我们认为“在平面上两点得到确定时，则过此两点的直线就被确定”，这时，所有用直尺和圆规能解的作图问题，用单圆规便都能作出。因为初等几何的作图，实际上是确定点的问题，用直尺和圆规所能确定的点，不外三种情形:

（1）直线与圆的交点；

（2）直线与直线的交点；

（3）圆与圆的交点。

这三种情形得到完成，用作图公法就都能得到完成。用单圆规可以完成（2），如果能用单圈规进行（1）、（2）两种惰形的作图，则上述“在平面上两点得到确定时，则过此两点的直线就被确定”中的结论就可得到证明。现在将（1）、（2）改述如下的形式:

（1）求作已知圆O (OA)与过二定点B、C的直线的交点。

（2）求作过二定点A、B的直线与过二定点C、D直线的交点。

马奢罗尼证明了这两个作图是可能的。因此，凡用直尺圆规能作的作图题，用单圆规都能作出。

法国的数学家彭赛列(Poncelet)在1822年，曾在他的著作《图形的射影性质》里，论述了“在平面上已知一圆及其圆心时，则直尺和圆规能解的作图问题，只用直尺就能得解”。当然，这里所说的圆的确定，只要知其圆心及圆周上的一点就可以了。这一事实，在1833年斯太纳(Steiner，德)的著作《一个定圆与直线可解的几何作图》里，有进一步的论述。因此，单直尺作图问题，是彭赛列和斯太纳共同完成的。为了证明单直尺作图的可能，只要能解下列的两个作图就可以了.

（1）求已知圆心为A及该圆周上一点B的圆与定直线g的交点。

（2）已知四点A、B、C、D时，求圆A(AB)与C(CD)的交点。

而这两个作图，被证明是可能的，因此单直尺的作图效能，也与直尺圆规相同2。

举例说明尺规作图历史悠久，影响深远，特别是古希腊三大几何难题更是吸引了无数数学爱好者，尺规作图看似简单，其实奥妙无穷，具有挑战性，能够培养数学思维和数学能力。随着人们数学水平的提高，从最开始的尺规作图，又引发出了单规作图、单尺作图等更高难度的作图。

下面介绍单尺作图的几个实例，并用面积法给出证明3。
【例1】已知线段AB和平行于AB的直线CD，仅用直尺求作线段AB的中点。

作法如图1: