[科普中国]-简单四线形

简单四线形(simple quadrilateral)是一种简单n线形，指由平面上四条直线a，b，c，d(其中无三线共点)及它们顺次两两的交点(a，b)，(b，c)，(c，d)，(d，a)所组成的图形称为简单四线形，记为简单四线形abcd。a，b，c，d称为它的边，(a，b)，(b，c)，(c，d)，(d，a)称为它的顶点，不相邻两边的交点(a，c)，(b，d)称为它的对边点1。

基本介绍由四条直线(其中无三者共点)a，b，c，d及它们顺次两两交点(a，b)，(b，c)，(c，d)、(d，a)所组成的平面形叫做简单四线形。a，b，c，d叫做边，(a，b)，(b，c)，(c，d)，(d，a)叫做顶点，不顺次两边的交点(a，c)，(b，d)叫做对边点(图1)2。

简单四点形 由四个点(其中无三者共线)A，B，C，D及它们顺次两两的连线AB,BC,CD,DA所组成的平面形叫做简单四点形。A，B，C，D叫做顶点。AB,BC,CD,DA叫做边，不顺次的顶点的连线AC，BD做对顶线(图2)。

注意：简单四点形的构成与顶点的顺序有关，如图2表示四点形ABCD，它与四点形ACBD，BDAC等不同，同样，简单四线形的构成与边的顺序有关2。

相关定理及应用布利安桑定理(Brianchon定理) 对于任意一个外切于非退化的二级曲线的简单六线性，它的三对对顶点的连线通过一个点(如图3)这个点称为布利安桑点。

以下定理为布利安桑定理的特殊情况：

定理1 外切于一条非退化二级曲线的简单四线形，二对对顶的连线，及其对边切点的连线，四线必共点(如图4(a))。

定理2 外切于一条非退化二级曲线的简单四线形，一对对顶的连线与另一对对顶中每一顶点与其对边切点的连线，三线共点(如图4(b))。

例题1 已知梯形ABCD外切椭圆于G、H、Q、R，证明梯形的上下底AD、CB分别被切点R、H所分线段之比相等，即AR：RD=CH：HB(图5)3。

证明： 由关于简单四线形的布利安桑定理知AC、BD、RH、GQ共点S，再利用相似三角形即可证得结论，也可利用交比证明如下：

因上下底所在直线AD、BC交于无穷远点，故

从而

即

例题2 求证：双曲线上任一点处的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为常量。

证明： 如图5，设双曲线的两条切线依次交两渐近线于A，B和A’，B'，于是，两切线与两渐近线构成双曲线的一个外切四线形，据定理1(外切于非退化二次曲线的简单四线形的两双对顶的连线及两双对边上切点的连线必四线共点)可知， 共点。即。从而三角形与等积，于是，三角形ABC与等积。

相关概念简单n线形 n条直线(其中无三线共点)及其两两顺次相交的交点所构成的图形，这n条直线称为边，n个交点称为顶点。

简单n点形n个点(其中无三点共线)及其两两顺次连线所构成的图形，这n个点称为顶点，n条直线称为边。

对于简单n点(线)形，表1和表2分别给出了n=3和n=4的情形，显然，对于给定的n个点(或n条直线)，由它们所构成的简单n点形(简单n线形)与这n个点(n条直线)的排序有关。此外，这两类图形与初等几何中的多边形也是不同的概念4。

|| || 表 1 n=3，简单三点形和简单三线形

|| || 表 2 n=4，简单四点形和简单四线形

本词条内容贡献者为:

尹维龙 - 副教授 - 哈尔滨工业大学