[科普中国]-无穷远元素

无穷远元素(element at infinity)亦称假元素或理想元素，是射影几何的一个术语，指空间中的无穷远点、无穷远直线和无穷远平面的统称，平面几何里的无穷远元素为无穷远点和无穷远直线1。

基本介绍为了使中心射影成为双射，我们需要改造直线、平面和空间，要求在改造直线和平面的时候满足下列三个基本关系：

(1)两条相异的共面直线确定唯一一个点(交点)。

(2)两个相异点确定唯一一条直线(连线)。

(3)两个相异平面确定唯一一条直线(交线)。

我们的做法就是给平行直线添加交点。

约定： (1)在每一条直线上添加唯一个点，此点不是该直线上原有的点，称为无穷远点(或理想点)，记作。在相互平行的直线上添加的无穷远点相同，不平行的直线上添加的无穷远点不同2。

(2)平面上全体无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(或理想直线)，记作。

(3)空间中所有无穷远点构成的集合构成一平面，称为无穷远平面(或理想平面)。

增加了无穷远点的直线叫仿射直线，增加了无穷远直线的平面叫仿射平面，增加了无穷远平面的空间叫仿射空间。为区别起见，我们称仿射空间原有的点为有穷远点或通常点；把除无穷远直线外的直线称为有穷远直线或通常直线；把除无穷远平面以外的平面称为有穷远平面或通常平面。

在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线的关联关系，同时也使得中心射影成为双射。中心射影也叫透视对应2。

例题解析例1在仿射空间中，我们有以下命题2：

(1)平面上的每一个方向有唯一的无穷远点。任意一组平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行。

(2)不平行的直线上的无穷远点不同。

(3)平面上的平行直线交于无穷远点，不平行的直线交于通常点，因此平面上任意两条直线交于唯一一点。

(4)直线或者在某平面上，或者与这个平面交于唯一一点。

(5) 一组平行平面上的无穷远直线是相同的，这条无穷远直线就是这组平行平面的交线。

(6)平面上每一条直线(无穷远直线除外)与无穷远直线有且仅有一个交点，这个交点就是该直线上的无穷远点。

(7)每一平面上有且仅有一条无穷远直线。

(8)空间中任意两张平面有唯一的交线。两平行平面的唯一交线是无穷远直线；两不平行的平面的唯一交线 是通常直线。

如果把通常点和无穷远点不加区别；则仿射直线就叫射影直线；仿射平面就叫射影平面；仿射空间叫射影空间2。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所