[科普中国]-拉普拉斯-龙格-楞次矢量

在经典力学里，拉普拉斯-龙格-楞次矢量（简称为LRL 矢量）主要是用来描述，当一个物体环绕着另外一个物体运动时，轨道的形状与取向。典型的例子是行星的环绕着太阳公转。在一个物理系统里，假若两个物体以万有引力相互作用，则 LRL 矢量必定是一个运动常数，不管在轨道的任何位置，计算出来的 LRL 矢量都一样；也就是说， LRL 矢量是一个保守量。更广义地，在开普勒问题里，由于两个物体以有心力相互作用，而有心力遵守平方反比定律，所以，LRL 矢量是一个保守量。1

概论在一个物理系统里，在任意保守的有心力的作用下，一个粒子的运动，都会拥有至少四个运动常数；能量与角动量L的三个分量皆为运动常数。粒子的轨道被限制于一个平面。粒子的动量P和从力中心点的位置到粒子位置的位移r。粒子的运动平面垂直于角动量L。用方程表示，

LRL矢量A，也肯定地包含于粒子的运动平面。可是，只有当有心力遵守平方反比定律时，A才是常数矢量。对于别种有心力，A不是常数矢量，其大小与方向都会改变。假若有心力近似地遵守平方反比定律，则A的大小近似常数，而方向会缓慢地转动。对于所有的有心力，可以定义一个广义LRL矢量，但是，这广义矢量通常并没有解析解，假若有，也会是一个非常复杂的函数。

历史在重要的开普勒问题中，LRL矢量A是一个运动常数，时常用来描述天文轨道，例如行星的运动。然而，物理学家对它并不熟悉，这很可能是因为与动量与角动量相比，它的物理内涵比较难以被直觉地理解。因此，在过去三个世纪里，它曾被重复地发现过许多次。1710年，在一个不著名的意大利学刊里，雅各布·赫尔曼最先发表了关于LRL矢量的论文。在推导一个轨道方程的过程中，他计算出LRL矢量的大小，A是保守的；并且推导出此案例与椭圆轨道离心率的关系。稍后，赫尔曼把这结果告诉约翰·伯努利，他的恩师。伯努利又更进一步地推导出LRL矢量的方向。这样，LRL矢量得到了它的现代形式。所以，不容质疑地，LRL矢量是赫尔曼和伯努利共同发现的。

在那个世纪末尾，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯又重新地发现了LRL矢量的保守性；稍微不同地，他的导引使用的是分析方法，而不是几何方法。十九世纪中叶，威廉·哈密顿推导出全等的离心率矢量。他用离心率矢量来证明，在平方反比有心力作用下，速端曲线显示出，粒子动量矢量的头部呈圆形移动（参阅图3）。二十世纪初，约西亚·吉布斯，应用矢量分析，推导出同样的矢量。后来，卡尔·龙格将吉布斯的导引，纳入自己所写的一本广受欢迎的，关于矢量的，德文教科书内，成为其中的一个例题。1924年，威尔汉·楞次发表了一篇关于氢原子的旧量子论的论文。在这篇论文中，他引用龙格所写的教科书的例题为参考。1926年，沃尔夫冈·泡利用LRL矢量与矩阵力学，而不是薛定谔方程，来推导氢原子的光谱。这杰作说服了大多数物理学家，使他们觉得量子力学理论是正确的。

数学定义 平方反比有心力可以表达为2

其中，k是比例常数， 是单位矢量，r是粒子的位置矢量。

感受到此力的作用，一个粒子的轨道运动，其LRL矢量的数学定义方程为

其中，m是粒子的质量，p是动量，L是角动量。

由于平方反比有心力为保守力，能量是运动常数：

再者，角动量L也是保守的，可以决定粒子移动平面的取向。因为 与r都垂直于L，所以，LRL矢量A垂直于角动量；A包含于轨道的平面。

这个单独粒子的LRL矢量定义，也可以延伸至像开普勒问题一类的二体问题，只需要设定质量m为二个物体的约化质量，设定位置矢量r为二个物体之间的相对位置矢量。

同样的运动常数可以有很多种不同的表述．最常见的一种牵涉到离心率矢量。定义离心率矢量e为LRL矢量与mk的除商：

性质在开普勒问题里，LRL矢量的保守性对应于系统的一种微妙的对称性。在经典力学里，对称性可以由连续运算显示出来；这连续运算可以将一个轨道映射至另外一个轨道，而同时保持系统的能量不变。在量子力学里，连续运算将同能级原子轨域混合在一起，也就是说，（简并原子能级）。

通常，对于每一个对称性都会存在有一个保守量。例如，有心力系统必对称于旋转群SO(3)；因而指引出角动量L的保守性。在经典力学里，整个系统的旋转不会影响轨道的能量。在量子力学里，假若旋转只混合角量子数相同的球谐函数，则系统的能量不会改变。

平方反比有心力系统的对称性是更高维与更微妙的。这奇特的对称性是由角动量L与LRL矢量A的双重保守性造成的；这保证了氢原子的能级跟角量子数I、磁量子数m无关。由于对称性运算必须发生于更高维空间，使得这对称性更加的微妙；这类的对称性常称为隐秘对称性。在经典力学里，开普勒问题的高维对称性容许连续的改变轨道．只要保持能量不变，而角动量可以改变；换句话说，同能量，不同角动量（离心率）的轨道可以互相的连续变换。在量子力学里，这对应着不同角量子数与磁量子数的轨域的混合，例如s(l=0)与p(l=1)原子轨域的混合。这种混合是不能用普通的三维平移运算或旋转运算达成的。可是，这种混合等价于高维度空间的旋转。

在一个束缚（bounded）系统里，能量是负值的，这高维对称群是SO(4)；特性是四维矢量的长度保持不变：

1935年，弗拉基米尔·佛克（Vladimir Fock）表明，在量子力学里，束缚的开普勒问题等价于一个粒子自由地移动于四维空间的三维单位球。更具体地，佛克表明，在开普勒问题的动量空间，薛定谔波函数是球谐函数的球极平面投影。圆球的旋转与重复射影造成了椭圆轨域的连续映射，同时维持能量不变；这对应于主量子数n相同的轨域的混合。随后，华伦泰·巴格曼注意到，跟LRL矢量成比例的矢量D与角动量L的泊松括号形成SO(4)的李代数。简单地说，D与L的六个物理量对应于在四维空间里的六个保守的角动量分量，相伴于在四维空间里的六个合法的简单旋转（从四个轴中，选两个轴为旋转轴。一共有六种可能）。这结论并不意示宇宙是一个三维球面；而只是说，这个特别的物理问题（开普勒问题），在数学上，等价于移动于三维球面的一个自由粒子。

在一个非束缚（unbound），散射系统里，能量是正值的，对应的高维对称群是SO(3,1)；其特性是保持四维矢量的闵可夫斯基长度不变：

有心力系统（包括开普勒问题的那些系统）的轨道对于反射也具有对称性。所以，轨道的完全对称群并不是前面所提的SO(3)、SO(4)、SO(3,1)群；而分别是O(3)、O(4)、O(3,1)。然而，只需要连通子群SO(3)、SO(4)、SO(3,1)来展示出角动量与LRL矢量的保守性；反射对称性与保守性不相关。保守性可以由群的李代数推导出来。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所