[科普中国]-作用量-角度坐标

在经典力学里，作用量-角度坐标（action-angle coordinate）是一组正则坐标，通常在解析可积分系统 (Integrable system) 时，有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法，不需要先解析运动方程，就能够求得振动或旋转的频率。

应用作用量-角度坐标主要用于完全可分的哈密顿-亚可比方程（哈密顿量显性地不含时间，也就是说，能量保持恒定）。1作用量-角度变数可以用来定义一个环面不变量。因为，保持作用量的不变设定了环的曲面，而角度是环面的另外一个坐标，粒子依照着角度，卷绕于环面。

在量子力学早期，波动力学发展成功之前，玻尔-索末菲量子化条件(Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力学的利器。此条件阐明，作用量必须是普朗克常数常数的整数倍。爱因斯坦对于Einstein-Brillouin-Keller action quantization深刻的理解 与 非可积分系统 量子化的困难，都是以 作用量-角度坐标的环面不变量 来表达。

在哈密顿力学里，作用量-角度坐标也可以应用于摄动理论，特别是在决定缓渐不变量。关于一个自由度很小的动力系统的非线形摄动，混沌理论研究的最早的一个结果是KAM theorem。这定理阐明，对于微小摄动，环面不变量是稳定的。

作用量-角度坐标，对于户田晶格(Toda field theory) 的解析，对于Lax pairs的定义，更广义地，对于一个系统同光谱(isospectral) 演化的构想，都占有关键地位。

周期性运动的坐标表示假若，粒子的运动是周期性运动，最常见的例子如振动或旋转都是周期性运动，则可以设计一个新正则坐标－作用量-角度坐标 。定义作用量为

这闭路径积分的路径是粒子运动一周期的路径。

由于广义动量 只跟 、 有关，经过积分，作用量 只跟 有关。所以，作用量矢量 只是个常数矢量。哈密顿特征函数可以表达为

虽然是同样的物理量，函数的参数不同，形式也不同。

定义角度 为

由于所有的广义坐标 都相互独立，所有的广义动量 也都相互独立，所以，所有的作用量 都相互独立，作用量-角度坐标可以正确的用为正则坐标。这样，哈密顿特征函数可以用正则坐标作用量-角度坐标表达为

新哈密顿量 与旧哈密顿量 相等：

因为作用量只是常数矢量，所以，

新哈密顿量，只跟作用量 有关，跟角度无关。

角度 随时间的导数 ，可以用哈密顿方程决定：

每一个 都是常数，所以，也是常数：

其中，是积分常数。

基本规则总结一般程序有三个步骤：

1）计算作用量变数。

2）用作用量变数表示原本哈密顿量。

3）取哈密顿量关于作用量变数的导数。这样，可以求得频率 。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所