[科普中国]-精确对角化法

精确对角化法（exact diagonaliation）是一个最直接求得基态的数值方法，但由于将哈密顿算符完整对角化非常花费时间与电脑内存，所以当需要的只是基态和少数激发态，通常利用Lanczos算法和Davidson算法。精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。

精确对角化法背景在量子力学中的一个量子系统，物理学家最有兴趣的是找出这个量子系统的基态，也就是能量本征值最小的态，例如：两个自旋1/2的粒子所形成的量子系统中，若粒子之间的交互作用可写成

其中 、 、 表示第 个自旋的包立矩阵。将上面4×4的矩阵对角化后可得本征值：

对应的本征向量为

而

即为这个系统中的基态。

可想而知，随着量子系统的粒子数变多，且交互作用愈来愈复杂时，量子系统的基态很难用解析的方法计算出来，因此许多物理学家转向利用数值方法来求得基态。

精确对角化法难点精确对角化法（exact diagonaliation）是一个最直接求得基态的数值方法，但由于将哈密顿算符完整对角化非常花费时间与电脑内存，所以当需要的只是基态和少数激发态，通常利用Lanczos算法和Davidson算法。1精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。目前电脑的条件下，精确对角化法的尺寸极限如下：

一维自旋-1/2的环：36个格点。

二维自旋-1/2的平方晶格：40个格点。

二维t-J模型的平方晶格：32个格点，4个电洞。

二维Hubbard模型的平方晶格：32个格点。

一维Holstein 链：14个格点。

本词条内容贡献者为:

刘军 - 副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所