[科普中国]-自旋-轨道作用-

在量子力学里，一个粒子因为自旋与轨道运动而产生的作用，称为自旋-轨道作用（英语：Spin–orbit interaction），也称作自旋-轨道效应或自旋-轨道耦合。

绪论在量子力学里，一个粒子因为自旋与轨道运动而产生的作用，称为自旋-轨道作用（英语：Spin–orbit interaction），也称作自旋-轨道效应或自旋-轨道耦合。最著名的例子是电子能级的位移。电子移动经过原子核的电场时，会产生电磁作用．电子的自旋与这电磁作用的耦合，形成了自旋-轨道作用。谱线分裂实验明显地侦测到电子能级的位移，证实了自旋-轨道作用理论的正确性。另外一个类似的例子是原子核壳层模型能级的位移。1

半导体或其它新颖材料常常会涉及电子的自旋-轨道效应。自旋电子学专门研究与应用这方面的问题。

电子作用接下来，以相当简单与公式化的方式，详细地讲解一个束缚于原子内的电子的自旋-轨道作用理论。这会用到电磁学、非相对论性量子力学、一阶摄动理论。这自旋-轨道作用理论给出的答案，虽然与实验结果并不完全相同，但相当的符合。更严谨的导引应该从狄拉克方程开始，也会求得相同的答案。若想得到更准确的答案，则必须用量子电动力学来计算微小的修正。这两种方法都在本条目范围之外。

磁场虽然在原子核的静止参考系(rest frame) ，并没有磁场；在电子的静止参考系，有磁场存在。暂时假设电子的静止参考系为惯性参考系，则根据狭义相对论，磁场B 是2

；(1) 其中，v是电子的速度，E是电子运动经过的电场，c是光速。

以质子的位置为原点，则从质子产生的电场是；其中，Z是质子数量（原子序数），e是单位电荷量，是真空电容率，是径向单位矢量，r是径向距离，径向矢量是电子的位置。

电子的动量p是p=mv，其中，m 是电子的质量。所以，作用于电子的磁场是

； (2)

其中，L是角动量，，B是一个正值因子乘以L，也就是说，磁场与电子的轨道角动量平行。

磁矩电子的磁矩是，其中，是回转磁比率(gyromagnetic ratio) ，S 是自旋，是电子自旋g因数，是电荷量。电子的g-因数（g-factor）是2，电荷量是-e 。所以，

。 (3)

电子的磁矩与自旋反平行。

哈密顿量摄动自旋-轨道作用的哈密顿量摄动项目是。代入的公式 (3) 和B的公式(2)，经过一番运算，可以得到，一直到现在，都还没有考虑到电子静止坐标乃非惯性坐标。这事实引发的效应称为托马斯进动(Thomas precession) 。因为这效应，必须添加因子1/2 在公式里。所以，。

能级位移在准备好了自旋-轨道作用的哈密顿量摄动项目以后，现在可以估算这项目会造成的能量位移。特别地，想要找到的本征函数形成的基底，使 H'能够对角化。为了找到这基底，先定义总角动量算符：

，

总角动量算符与自己的内积是

。

所以，。

请注意 H'与L互相不对易，H' 与S 互相不对易。可以很容易地证明这两个事实。由于这两个事实，与L的共同本征函数不能被当做零摄动波函数，用来计算一阶能量位移。与S的共同本征函数也不能被当做零摄动波函数，用来计算一阶能量位移。可是，，这四个算符都互相对易。，这四个算符也都互相对易。所以，，这四个算符的共同本征函数可以被当做零摄动波函数，用来计算一阶能量位移；其中， n 是主量子数，j是总角量子数，l是角量子数，s是自旋量子数。这一组本征函数所形成的基底，就是想要寻找的基底。这共同本征函数的的期望值是

其中，电子的自旋s=1/2 。

经过一番繁琐的运算，可以得到的期望值

；其中，是玻尔半径。

将这两个期望值的公式代入，能级位移是

。

经过一番运算，可以得到

其中，是主量子数为n的零摄动能级。

特别注意，当l=0时，这方程会遇到除以零的不可定义运算；虽然分子项目 j(j+1)-l(l+1)-3/4=0也等于零。零除以零，仍旧无法计算这方程的值。很幸运地，在精细结构能量摄动的计算里，这不可定义问题自动地会消失。事实上，当 l=0时，电子的轨道运动是球对称的。这可以从电子的波函数的角部分观察出来， l=0球谐函数是

，

由于完全跟角度无关，角动量也是零，电子并不会感觉到任何磁场，所以，电子的l=0轨道没有自旋-轨道作用。