[科普中国]-维格纳准概率分布

维格纳准概率分布 (又称维格纳方程或是Wigner–Ville distribution)是个准概率分布。 1932年，Eugene winger利用维格纳准概率分布开始研究将经典统计力学用量子修正来解释的方法。1目标是连接出现在薛定谔方程里的波函数至概率分布里的相空间。

绪论维格纳准概率分布(又称维格纳方程或是Wigner–Ville distribution)是个准概率分布。

在给定的量子力学波函数ψ(x)，维格纳准概率分布是所有空间自相关函数的一个母函数。因此1927时，赫尔曼·外尔提出在量子概率密度函数，它扮演真实相空间函数及厄密特运算子的映射角色。2事实上，它是密度矩阵中的维格纳-魏尔变换，用来实现在相空间中的运算子。后来由让威乐在1948年重新推导成为信号的本地时频能量的二次表示法，可以有效的作为频谱图。

在1949年，何塞·恩里克·莫雅尔认可它作为量子动量生成函数，因此在相空间里，变成所有量子期望值和量子力学的一种优雅编码的基础，(比较时频分析转换关系)。它应用在统计力学，量子化学，量子光学，经典光学和信号分析，在不同的领域，如电子工程，地震，时频分析，音乐信号，在生物学和语音处理谱图，和发动机设计。

关于经典力学一个经典的粒子具有确定的位置和动量，因此它是由相空间中的点表示。 在刘维尔密度中，发现粒子在相空间中特定位置的概率是由一个概率分布决定。然而由于不确定性原理，这种严格的解释未能阐述量子粒子。相反地，准概率维格纳分布扮演一个类似的角色，虽然并不满足所有传统概率分布特性但满足经典分布不能使用有界的特性。

例如，维格纳分布通常可分析负的状态，是量子波干涉方便的指标。透过一个尺寸大于ħ的滤波器可以平滑化维格纳分布，创造一个正半定的功能。

负值的区域可以被证实是小的，这些区域不能延伸到紧凑区域以外几个ħ，所以根据经典极限论消失。由于不确定性原理不允许相空间区域小于ħ内精确位置，因此反应"负的概率"少一点的自相矛盾。

定义与意义维格纳分布P(x,p)定义如下:1

其中ψ为波函数，x和p为位置和动量但也可以是任何共轭变量对（即电场的信号的或频率和时间的实部和虚部）。也可以写成， ，φ为ψ的傅里叶转换。

在3D里，

一般情况下密度矩阵的维格纳分布，包含混合态，

其中⟨x|ψ⟩ =ψ(x).这个维格纳转换是魏尔变换的反转换，它映射相空间方程至希尔伯特空间。因此，维格纳函数是量子力学在相空间的基石。

1949年何塞·恩里克·莫雅尔阐明维格纳分布是如何提供相空间的整合测量(类似于一个概率密度分布)，让相空间方程的期望值g(x,p)能够由魏尔转换(即魏尔变换和以下的性值七)以经典概率论的方法唯一的和运算子Ĝ产生关联。特别地，Ĝ的期望值是维格纳变换的"相空间平均"，如下

数学性质1.P(x,p)是实数

2.P(x,p)有以下的反射对称性：

时间对称性：

空间对称性：

3.P(x,p)是伽利莱协变：

4. 如果没有外力作用，在相位空间中每个点的运动方程符合经典力学：

5. 状态重叠的计算公式：

6. 期望值运算子被认为是维格那变换的相空间平均：

7. 利用柯西- Schwarz不等式，对于纯的状态，它被限制为有界，

维格纳演进方程对于希伯特空间的运算子Ĝ和相空间的g(x,p)而言，维格纳变换是一般的反转换，如下：

厄密特运算子映射至实域。它的反转换被称为魏尔转换，

其他用途在光学系统像是望远镜或光纤通讯设备中的设计，维格纳方程被用来桥接简单光线追迹和系统的全波分析之间的差距。在这方面，维格纳方程是最好的方法能描述系统中的光线位置x及角度θ且包含干扰的影响。

在信号分析中，维格纳方程能表示随时间变换的电信号，机械震动或是声波。这里，x取代时间，p/ħ取代角频率ω= 2πf。

在超快光学，短激光脉冲具有维格纳方程的特性，参数和上一行一样。

本词条内容贡献者为:

杜强 - 高级工程师 - 中国科学院工程热物理研究所