[科普中国]-增量理论

增量理论指的是由于材料在进入塑性状态时的非线性性质和塑性变形的不可恢复的特点，因此须研究应力增量和应变增量之间的关系。

内容简介增量理论系相对全量理论而言的，由于材料在进入塑性状态时的非线性性质和塑性变形的不可恢复的特点，因此须研究应力增量和应变增量之间的关系，这就是所渭增量理论。对弹塑性体，只有在简单加载的条件下，才能建立应力和应变全量之间的关系(本构方程)，但在一般塑性变形条件下，我们只能建立两者增量之间的关系。用增量形式表示的本构关系，一般统称之为增量理论或流动理论。
增量理论不受加载条件的限制，在理论上较全量理论优越。但在实际运用时，须按加载过程中变形路径进行积分，因此较复杂。在历史上，增量理论发展较全量理论为早，这也是很自然的，因为根据弹塑性材料的应力应变非线性关系，首先想到的应该是在增量之间建立联系，但又因为实际计算困难，便发展为对加载条件予以限制而提出全量理论。

塑性增量理论应用条件的探讨塑性力学的根本目的就是研究塑性变形体内的应力与应变，以确定适当的压力加工工步和合理的坯料尺寸，获得优质的工件。正确地选用应力应变之间的关系(本构方程)是求解塑变体内应力场与应变场的先决条件。塑性力学中常用的本构关系是增量理论，其中主要包括列维一密席斯方程和普朗特一劳斯方程。关于劳斯方程和密席斯方程在弹塑性材料中的应用范围观点不一：有的认为劳斯方程适用于复杂加载下的理想弹塑性材料，有的认为其普遍适用于弹塑性材料，而密席斯方程在弹性变形可以忽略的情况下是普遍适用的。

（1）理想弹塑性材料在简单加载条件下塑性变形时，质点的应力状态不变，弹性应变张量不变。

（2）劳斯方程适用于复杂加载条件下的理想弹塑性材料以及任意加载条件下的弹塑性硬化材料；密席斯方程不仅适用于刚塑性材料，而且适用于简单加载条件的理想弹性材料。1

对经典塑性力学增量理论的再认识研究背景经典塑性力学中的增量理论是描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论。塑性应力应变关系的重要特点是它的非线性性和不单一性，所谓非线性性是指应力应变不是线性关系，所谓不单一性是指应变不能由应力确定。由于这一点，描述塑性变形的方程式原则上不能由应力分量和应变分量的有限关系式相联系(就象在Hoke定律的关系式中那样)，而必需是微分关系式。以微分形式表示的增量理论是经典塑性力学应力应变关系的最具普适性的形式，它不象全量理论形式的应力应变关系只适用于简单加载的情况，而是既适用于简单加载又适用于复杂加载。因此增量理论在经典塑性力学中具有十分重要的意义和地位。

但经典塑性力学中的增量理论，实际上是被建立在不同的假设基础之上。例如Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论是建立在根据复杂应力状态下有应力Lode参数与塑性应变增量Lode参数近似相等的实验结果而提出的“塑性应变增量的分量与相应的应力偏量的分量成比例的假设基础之上。如果忽略弹性变形不计，则得到Levy-Mises理论，若计及弹性变形则得到Prandtl-Reuss理论。经典塑性力学中的塑性位势理论，则或者是类比于弹性位势理论，假设也存在着一个塑性位势函数，从而得到所谓非关联流动法则型增量理论；或者是根据Drucker假设从而得到与屈服条件相关联的流动法则型增量理论。显然，在塑性力学中如此重要的增量理论，被建立在一些不同的假设基础之上，不能认为是一件令人满意的事情。

研究从最小耗能率原理闭出发，在塑性变形是变形过程中耗能机制的条件下导出了增量理论的一般表达式，并且证明了经典塑性力学中的Levy-Mises理论、Prandtl-Reuss理论、非关联流动法则和与屈服条件相关联的流动法则型增量理论，都可以看作是上述增量理论一般表达式的特例。以上事实表明，经典塑性力学中的增量理论，可以按照一种理性的方式而不是根据假设来建立，这将使增量理论更趋完善。

最小耗能率原理参考文献2证明了在线性非平衡态条件下的“任何耗能过程都将在与其相应的约束条件下，以最小耗能的方式进行”这一重要结论，并把它命名为最小耗能率原理。该原理与文献3中所谓的最小能耗率原理的根本区别在于：文献3认为只有当系统处于稳定态(即耗能率与时间无关的情况下，系统的耗能率才取与施加于该系统的约束条件相适应的最小值。而文献的结论则是对整个耗能过程而言的，即在整个耗能过程的任意时刻(不论此刻系统耗能率是否已达到稳定态)，系统都将在与其相应的约束条件下，取当时所有可能耗能率的最小值。可以认为文献闹提出的最小耗能率原理，揭示了线性非平衡系统中耗能过程的一般规律。按Prigogine学派的观点，通常只把化学反应型非平衡态作为非线性非平衡态4。因此可以认为文献2提出的最小耗能率原理，适用于除化学反应型非平衡态之外的一切非平衡态耗能过程。

经典塑性力学由在实验基础上提出的某些简化的理论模型假设出发，虽然得到了某些与实际相符的增量理论结果，但却没能阐明问题的物理本质。例如，在非关联流动法则型增量理论中，塑性势究竟是什么，它具有什么物理意义?又例如对与屈服条件相关联的流动法则型增量理论而言，塑性应变增量矢与屈服面正交的所谓正交法则假设是否具有普遍性(即在一些更复杂情况下类比于正交法则假设而提出的广义正交法则假设是否正确)等这样一些涉及物理本质的问题，经典理论是无法回答的。但按本文的理论，以上问题的答案是十分明显的。因为材料发生耗能时必须满足的约束条件，这就是说，经典理论中的塑性势实际上就是耗能的约束函数。另外，只有当材料耗能率表达式是位势函数时正交法则假设才会成立。是否就是屈服条件，正交法则都成立。顺便指出，虽然在只考虑塑性变形一种耗能机制时约束条件通常就是屈服条件，但若需考虑塑性损伤耗能等其它耗能机制时，则与之相应的耗能过程所应满足的约束条件就会不同于屈服条件了。

耗能率与相应的约束条件通过最小耗能率原理联系在一起，由此引出的极值条件就是塑性增量理论的一般形式。经典塑性力学中的各种增量理论都仅仅是上述一般形式在某些特定条件下的结果。因此，上述极值条件实际上就是建立经典塑性力学中各种形式增量理论的共同物理基础。此外，因为上述极值条件实际上是一个关于比的一阶偏微分方程组，这又为我们提供了一个可以从另一角度去理解为什么在一般情况下，塑性本构关系必需采用微分形式的途径。

研究结论研究从最小耗能率原理出发，导出了经典塑性力学中建立在不同假设基础之上的各种增量理论的结果，这似乎有些令人感到奇怪，但是如果考虑到塑性变形过程实际上就是一个耗能过程，并且这个耗能过程只有在满足某些必要的约束条件的情况下才会发生和发展，那么从最小耗能率原理出发可以导出现有的各种增量理论的结果，就显得十分自然和可以接受了。事实上，对本文所讨论的情况而言，可以认为塑性变形率是产生塑性耗能率的根本原因，因此塑性变形率与塑性耗能率密切相关。而以耗能率表示的耗能过程是否能够发生和发展，又与所受到的约束条件紧密相关，因此塑性变形率与约束条件之间肯定存在着某种联系，经典塑性力学中的塑性位势理论，实际上就是反映上述联系的数学表达式在φ为位势函数条件下的一个特例。

考虑到当将其中的约束条件取为Mises屈服条件时，即可由塑性位势理论得到导出Levy一Mises理论和Prendtl一Reuss理论的基本假设。因此可以说经典塑性力学中的各种增量理论，与本文介绍的由最小耗能率原理导出的增量理论是一致不悖的。它们的不同之处仅在于后者是用一种完全理性的方式，在一个统一的理论框架下按同一模式建立的，具有普遍意义的一般性理论。而经典塑性力学中的增量理论，则是建立在不同假设基础之上，并且仅仅是上述一般性理论的某些特例。5

本词条内容贡献者为:

王宁 - 副教授 - 西南大学