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易辛模型(Ising model)，是一个以物理学家恩斯特·易辛为名的数学模型，用于描述物质的铁磁性。该模型中包含了可以用来描述单个原子磁矩的参数，其值只能为+1或-1，分别代表自旋向上或向下，这些磁矩通常会按照某种规则排列，形成晶格，并且在模型中会引入特定交互作用的参数，使得相邻的自旋互相影响。1

背景易辛模型(Ising model，(/ˈaɪsɪŋ/;德语：[ˈiːzɪŋ])，是一个以物理学家恩斯特·易辛为名的数学模型，用于描述物质的铁磁性。该模型中包含了可以用来描述单个原子磁矩的参数，其值只能为+1或-1，分别代表自旋向上或向下，这些磁矩通常会按照某种规则排列，形成晶格，并且在模型中会引入特定交互作用的参数，使得相邻的自旋互相影响。虽然该模型相对于物理现实是一个相当简化的模型，但它却和铁磁性物质一样会产生相变。事实上，一个二维的方晶格易辛模型是已知最简单而会产生相变的物理系统。

易辛模型最早是由物理学家威廉·冷次（Wilhelm Lenz, 1888－1957）在1920年发明的，他把该模型当成是一个给他学生恩斯特·易辛的问题。易辛在他一篇1924年的论文中求得了一维易辛模型的解析解，并且证明它不会产生相变。二维方晶格易辛模型相对于一维的难出许多，因此其解析的描述在一段时间之后才在1943年由拉斯·昂萨格给出。一般来说，二维易辛模型的解析解可由传递矩阵法求得，不过也有几个和量子场论有关的解法。对于大于三维的易辛模型目前还没有找到解析解，但其近似解可由诸多方法求得，例如平均场论。

定义令Λ为所有晶格点的集合，其中每个晶格点都有一个所有和它相邻的晶格点的集合(在数学上称之为图)并使这些晶格点形成一个d维的晶格。对于每个晶格点k∈Λ 都有一个离散变数σk，其中 σk∈ {+1, −1}，代表一个晶格点的自旋。而所有变数的集合σ=(σk)k∈Λ则称作自旋组态。2

对于两个相邻的晶格点i,j∈ Λ ，我们可以引入一个交互作用参数Jij，此外，我们可以假设每个自旋j∈Λ都和外加的磁场hj作用。则整个系统的哈密顿量可写成:

其中代表晶格点i和晶格点j是相邻的的晶格点。因此哈密顿量的第一项为对每一对相邻晶格点的总和(每一对只算一次)，代表所有自旋之间交互作用的能量，而第二项则是磁场和自旋交互作用的能量。µ是晶格点磁矩的值，值得注意的是，电子的磁矩和他的自旋方向相反，所以哈密顿量的第二项应该要是正号比较合理，但在习惯上，还是会令第二项为负号。

该系统的的组态机率P(σ)为在热平衡下某个特定自旋组态 σ 的机率，为波兹曼分布:

其中 β=(kBT)，而:

是该机率分布的归一化常数，在统计力学中又称做配分函数。对于有为自旋组态函数的物理量f(σ) ，其期望值可表示为:

参数H(σ) 中两项前的负号是约定俗成的。因为第一项为负号，因此参数Jij的正负号决定了该系统的性质，对于每一对i和j:

，则该系统为铁磁性。

，则该系统为反铁磁性。

表示自旋间无交互作用。

除此之外该系统为非铁磁性。

在铁磁性的易辛模型中，相邻自旋同方向时能量较低，因此自旋会倾向于同向排列，反之，在反铁磁性的易辛模型中，的相邻自旋反向的能量较低，因此自旋会顷向于反向排列。

H(σ) 中的第二项为负号，表示自旋顷向于和外加磁场同向，因此 hj的正负也决定自旋顷向排列的方向。对于所有的j ，如果:

, 则晶格点j顷向于朝向正向。

, 则晶格点j顷向于朝向负向。

, 表示没有外加力场作用在自旋上。

简化一个常见的简化是假设没有外加的磁场作用在易辛模型上，也就是说，对于所有的 j∈Λ，hj=0 。利用这项简化，其哈密顿量可以写成:

此时易辛模型在反转所有自旋之下是对称的:一个外加的力场会破坏这种对称。

另一个常见的简化是假设所有相邻晶格点的交互作用都是相等的，因此可以设Jij=J对于所有相邻的i,j∈Λ，而其哈密顿量可以写:

特性被研究的最透彻易辛模型是在 d维晶格上，平移不变、铁磁性并且无外加场的模型。也就是：Λ=Z,Jij=1,h=0。

易辛在他1924年的博士论文中，解决了在 d=1 时的情况，这个一维的模型可以想像成一排的自旋，而每个自旋都只和它左右两边的自旋交互作用。这个一模型不会产生相变，换句话说，对于所有正值的β，任意两自旋的相关系数都对 |i−j| 呈指数衰减:

其中c(β)是一个只和β有关的函数。

由此可知。这个系统是无序的。根据一维模型的结论，易辛错误的认为任何维度的易辛模型都不会有相变。但事实上，在二维或二维以上的模型中，该系统可以历经从无序相转变成有序相的相变。基本上在β值小(高温)时，系统处在无序相，而β值大(低温)时，系统处在有序相中。换句话说，当系统在有序相时：

其中c'(β)也是一个只和β有关的函数。

这个性质是首先被鲁道夫·佩尔斯(Rudolf Peierls)在1936年证明的，他的证法后来被称为佩尔斯论述(Peierls argument)。

在零磁下的二维方晶格易辛模型的解析解后来在1943年被昂萨格解出，他证明了该模型的相关函数和自由能可由一个无交互作用的格点费米子场(noninteracting lattice fermion)来界定。昂萨格在1949年发表了一个决定了自发磁化现象的公式，但却没有给出推导过程。后来是杨振宁在1951年发表了第一个正式的推导过程，其中里面用到了包括塞格极限定理和弗雷德霍姆行列式等数学工具。

数值模拟蒙特卡洛方法易辛模型一般来说很难直接进行数值计算，因为他的自旋组态非常之多。考虑一个拥有L个晶格点的模型，每个晶格点 σj有 ±1 两种可能，因此所有的自旋组态共有2种可能，这个数字会随着L的增加而进行指数增长。这也是为什么一般在做易辛模型的数值模拟时，都会采用蒙特卡洛方法。

用蒙特卡洛方法来模拟易辛模型所用的哈密顿量为:

此外，可以假设外加磁场 (h) 为零以简化模型，因为大部分的问题都只需要用到零磁下的模型。因此，近一步简化的哈密顿量为

可以从这个模型计算出的物理量包括该系统在定温下的比热和磁化强度等等。

Metropolis 算法Metropolis–Hastings算法是在数值模拟易辛模型时最常用的一种蒙特卡洛方法。这种方法首先要选定一个选择机率g(μ, ν)，代表系统在状态μ下，在所有可能状态中选到状态ν的机率。另外还需定义出一个接受机率A(μ, ν) ，也就是说当系统在状态μ下，接受系统跳到态ν的机率。如此的设计是为了让系统达到细致平衡。如果状态ν被接受了，则整个系统就会跳到状态ν，并且选择和决定下一个要跳到的状态。如果状态ν被没被接受，系统则留在状态μ，一样重新选择下一个要跳到的状态。这样的步骤一直重复直到某些条件达成为止，譬如说整个易辛模型完全被磁化，也就是所有的自旋都只到同一个方向。另外在实行这种算法，有一点需要注意的是需要选到适当g(μ, ν) 以保证整个过程的遍历性(ergodicity)。

在热平衡时，整个系统的能量只会有小幅度的扰动，这点促成了在演算时采用单一自旋反转法进行计算，也就是说每次系统转换其状态时，只改变其中一个自旋的方向。对自旋数很多的一易辛模型来说，系统在不同的状态之间跳跃时，其能量改变的幅度都很小。事实上，对于每个晶格点都和c个晶格点相邻的模型来说，每次能量改变的最大幅度为 2cJ。此外，采用这种单一自旋反转法可以保证演算过程的遍历性，因为任意一个状态都可以借由逐次的反转相异的自旋，而变成任意其他状态。

一维易辛模型在一维易辛模型系统中，假设每个带有自旋的原子分布在一维的圆圈中，且原子仅和邻居发生交互作用，交互作用均为J，能量可表示为2