[科普中国]-切瓦三角形

给定△ABC及其平面上不在三角形边上的一点P，联结AP，BP，CP交对应边于A'，B'，C'，则△A'B'C'称为P点关于△ABC的切瓦三角形(Cevian Triangle)。

基本介绍定义给定 及其平面上但不在三角形边上的一点P，联结AP，BP，CP交对应边于A'，B'，C'，则 称为P点关于 的切瓦三角形(Cevian Triangle)，如图11。

切瓦三角形的三条边长设P点的三线坐标是 则切瓦三角形各顶点的三线坐标矩阵是

切瓦三角形的三条边长有公式

切瓦三角形的面积的面积是

切瓦三角形的周长下面来讨论一下切瓦三角形的周长。

定理1 考虑一个三角形ABC，其边长 ，定义 是BC，CA，AB边上的中点，设D，E，F是BC，CA，AB边上的点，且满足下列条件：

(1.1) D在X和C之间，E在Y和C之间，F在Z和B之间。

(1.2) ∠CDE≤∠BDF，∠CED≤∠AEF，∠BFD≤∠AFE，那么∠DEF的周长不大于△ABC的半周长如图2。

定理2 假定三角形ABC边长满足 ，设P在三角形内，P有正号的齐次重心坐标 ，且满足：

(2.1) ；

(2.2) ，

那么P点的切瓦三角形的周长不大于△ABC的中点三角形的周长。

作为例子，内心有重心坐标，条件(2.1) 实际变为

对于形心，也有

对于垂心( 锐角三角形)变成，对热尔岗点，上述条件变成

可见这些点都满足条件(2.1)。

至于奈格尔点，能满足条件(2.2)，但不满足条件(2.1)，外心也同样如此。

切瓦圆切瓦三角形的外接圆称为切瓦圆。表1是一些常见的几何特征点所对应的切瓦三角形及切瓦圆。

|| || 表1

外接三角形与半切瓦三角形由切瓦三角形又衍生出两个概念：一是外接切瓦三角形；二是半切瓦三角形。

外接切瓦三角形给出△ABC及其平面上但不在三角形边上的一点P，联结AP，BP，CP，交△ABC的外接圆于A'，B'，C'，则△A'B'C'称为P点关于△ABC的外接切****瓦三角形，如图3。

当P的三线坐标是时，外接切瓦三角形的各顶点的三线坐标矩阵是

其面积是

式中

当P点分别是△ABC的内心、形心和垂心时，其外接切瓦三角形分别是：外接中点弧三角形，外接中点三角形，外接垂足三角形。

P的外接切瓦三角形与P点的垂足三角形相似。

半切瓦三角形衍生出的第二个概念是半切瓦三角形(Half-cevian Triangle)。

若是P点关于△ABC的切瓦三角形，取的中点，则，则称为是P点关于△ABC的半切瓦三角形，如图41。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学