[科普中国]-G-结构

在微分几何中，对一个给定的结构群 G，n 维流形 M 上一个 G-结构是 M 的切标架丛 FM（或 GL(M)）的一个 G-子丛。

G-结构的概念包括了许多流形上其它结构，其中一些是用张量场定义的。例如，对正交群，一个 O(n)-结构定义了一个黎曼度量；而对特殊线性群，一个 SL(n,R)-结构就是一个体积形式；对平凡群，一个 {e}-结构由流形的一个绝对平行化组成。

一些流形上的结构，比如复结构，辛结构，或 凯勒结构，都是 G-结构带上附加的可积性条件。

物理学中的术语是规范群。

主丛和G-结构尽管主丛理论在G-结构的研究中的角色很重要，但两个概念是不同的。一个G-结构是一个切标架丛的主子丛，但是G-结构丛“由切标架组成”的事实被视为数据的一部分。例如，考虑Rn上两个黎曼度量。伴随的 SO(n)-结构是同构当且仅当度量是同构的。但是，因为Rn是可缩的，故下面的 SO(n)-丛作为主丛总是同构。

两个理论的这个基本差别能够被在G-结构下面的G-丛上添加一个额外的数据：焊接形式（solder form）记录。焊接形式是用一个从M的切丛到配向量丛的典范同构将G-结构下面的G丛系于流形自身的局部几何上。尽管焊接形式不是一个联络形式，经常可以视为一个联络形式的前身。

详细说来，假设Q是G-结构的主丛。如果Q是实现为M的切丛的压缩，那么焊接形式是标架丛的重言形式由包含映射的拉回给出。抽象地，如果将Q视为与它作为一个标架丛实现独立的一个主丛，那么焊接形式由G在Rn上的一个表示 ρ 以及一个丛同构 θ:TM→Q×ρRn组成。1

可积性条件流形上不少结构，比如复结构，辛结构，或凯勒结构，均是G-结构附加一个可积性条件。没有相应的可积性条件，这些结构称为一个“殆（几乎）”结构，比如殆复结构，殆辛结构，或殆凯勒流形。

特别地，一个辛流形结构是比一个辛群的G-结构更强的概念。流形上一个辛结构是M上一个非退化2形式ω（这是一个{\displaystyle Sp}-结构，或殆辛结构），以及额外条件 dω= 0；后者称为可积性条件。

类似地，叶状结构对应于G-结构为分块矩阵以及可积性条件，这样便可利用弗罗贝尼乌斯定理。1

G-结构的同构M的保持G-结构的微分同胚集合称为这个结构的“自同构群”。对一个O(n)-结构它们就是黎曼度量的等距群，而一个 SL(n,R)-结构为保持体积的映射。

设P是流形M上一个G-结构，Q是流形N上一个G-结构。那么G-结构的同构是一个微分同胚f:M→N，使得线性标架的前推f*:FM→FN的限制给出了P到Q的一个映射（注意只要Q在f*的像中）。G-结构P与Q是局部同构如果M有一个开集覆盖U和一族微分同胚fU:U→f(U) ⊂N使得fU诱导了一个同构P|U→Q|f(U)。

一个G-结构的自同构是G-结构P和自己的同构。自同构经常在研究几何结构的变换群中出现，因为流形上许多重要的几何结构可实现为G-结构。

如果G-结构P有一个由可交换向量场(V1,...,Vn) 组成的整体截面，则称其为平坦G-结构。若一个G-结构局部同构于平坦G-结构，则称为可积的（或“局部平坦”）。

一类广泛的等价问题可以用G-结构语言阐述。例如，一对黎曼流形是（局部）等价等且仅当 它们的正交标架丛是（局部）同构的G-结构。在这种看法下，解决一个等价问题的一般过程是建立G-结构的一个不变量系统使得足以确定一对G-结构是否为局部等价。2

G-结构的联络设Q是M上一个G-结构。主丛Q上的一个主联络诱导了任何配向量丛的一个联络：特别是切丛。TM以这种方式产生的线性联络∇ 称为与Q相容。与Q相容的联络也称为容许的联络。

具体说来，容许联络可用活动标架来理解。TM一个局部截面（即M的一个标架）定义了Q的一个截面，假设Vi是这个它的一组基。任何联络 ∇ 决定了一个取决于基的 1-形式 ω：

∇XVi= ωi(X)Vj

这里，作为作为 1-形式矩阵 ω ∈ Ω(M)⊗gl(n)。一个容许联络是 ω 在G的李代数g上的一个取值。

G-结构的挠率任何G-结构伴随有挠率，和联络的挠率有关。注意到一个给定的G-结构可能有许多不同的容许联络，这些联络可能有不同的挠率。尽管如此，我们还是能够独立地定义G-结构的挠率如下。

连个容许联络的区别是一个M上一个取值于伴随丛AdQ的 1-形式。这便是说，容许联络的空间A是对 Ω(AdQ) 的一个仿射空间。

容许联络的挠率定义了映射

映到系数为TM中的 2-形式。这个映射是现行的；其线性化

称为代数挠率映射。给定两个容许联络 ∇ 与 ∇′，它们的挠率张量T∇，T∇′差一个 τ(∇−∇′)。从而T∇在 coker(τ) 中的像与 ∇ 的选取无关。

对任何一个联络，T∇在 coker(τ) 中的像称为G-结构的挠率。如果一个G-结构的挠率为 0，称为无挠的。这恰好在Q有一个无挠容许联络时发生。3

高阶G-结构一个特定的G-结构（例如，辛形式）上的壮观的可积性条件可通过扩张程序处理。在这种情形，扩张后的G-结构不能构和线性标架从的一个G-子丛等价。许多情况下，扩张后它自身也是一个主丛，而其结构群可以等价于高阶射流群的一个子群。此时，它也称为一个高阶G-结构（Kobayashi）。一般地，嘉当等价方法运用到这种情形。4

参见结构群的约化

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学