[科普中国]-球对称位势

球对称位势乃是一种只与径向距离有关的位势。许多描述宇宙相互作用的基本位势，像重力势、电势，都是球对称位势。这条目只讲述，在量子力学里，运动于球对称位势中的粒子的量子行为。

简介球对称位势乃是一种只与径向距离有关的位势。许多描述宇宙相互作用的基本位势，像重力势、电势，都是球对称位势。这条目只讲述，在量子力学里，运动于球对称位势中的粒子的量子行为。这量子行为，可以用薛定谔方程表达为

其中， 是普朗克常数， 是粒子的质量， 是粒子的波函数，V是位势，r是径向距离，E是能量。

由于球对称位势V(r)只与径向距离有关，与天顶角 、方位角 无关，为了便利分析，可以采用球坐标 来表达这问题的薛定谔方程。然后，使用分离变数法，可以将薛定谔方程分为两部分，径向部分与角部分。1

薛定谔方程采用球坐标 ，将拉普拉斯算子 展开：

满足薛定谔方程的本征函数 的形式为：

其中， ， ， ，都是函数。 与 时常会合并为一个函数，称为球谐函数， 。这样，本征函数 的形式变为：

角部分解答参数为天顶角 、方位角 的球谐函数 ，满足角部分方程

其中，非负整数 是角动量的角量子数。m（满足 ）是角动量对于z-轴的（量子化的）投影。不同的与m给予不同的球谐函数解答 ：

其中，i是虚数单位， 是伴随勒让德多项式，用方程定义为

而 是 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为

径向部分解答将角部分解答代入薛定谔方程，则可得到一个一维的二阶微分方程：

设定函数。代入方程(1)。经过一番繁杂的运算，可以得到

径向方程变为

其中，有效位势。

这正是函数为，有效位势为的薛定谔方程。径向距离r的定义域是从0到。新加入有效位势的项目，称为离心位势。2

参阅自由粒子

无限深方形阱

有限深方形阱

有限位势垒

Delta位势阱

Delta位势垒

有心力

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学