[科普中国]-复合函数微分法

多元函数微分学是数学分析领域的重要内容。在多元函数微分学中，主要讨论的是多元函数的可微性及其应用，而二元函数的可微性则是多元函数可微性研究的重点。复合函数微分法则是二元函数可微性的进一步研究。

复合函数的求导法则设函数

定义在 平面的区域 上，函数

定义在 平面的区域 上，且

则函数

是以（2）为外函数，（1）为内函数的复合函数。其中 称为函数 的中间变量， 为 的自变量1。

定理1若函数 在点 可微， 在点 可微，则复合函数

在点 可微，且它关于 与 的偏导数分别为

上述两个公式也称为链式法则。

注意如果只是求复合函数 关于 或 的偏导数，则定理1中 和 只需具有关于 或 的偏导数就够了。但是对外函数 的可微性假设是不能省略的，否则上述复合函数求导公式不一定成立。如函数

直接计算可知 ，但 在 处不可微。若以 为外函数， 为内函数，则得以 为自变量的复合函数

所以 。这是若用链式法则，将得出错误的结果

这个例子说明在使用复合函数求导公式时，必须注意外函数 可微这一重要条件。

复合函数的全微分若以 和 为自变量的函数 可微，则其全微分为

如果 作为中间变量又是自变量 的可微函数

则由定理1知道，复合函数 是可微的，其全微分为

由于 又是 的可微函数，因此同时有

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学