[科普中国]-胡克固体

胡克定律及其局限性

对胡克定律σ=Kε，我们看到：

(1)应力(σ)与应变(ε)成正比例关系，即二者是单值对应的。

(2)应力与应变是瞬时关系，当应力为σi时，应变即为εi，无滞后现象;当σ保持不变时，ε亦保持不变。

然而实际情况并非这样简单。即使在弹性范围内，应力应变除正比例关系外，尚有非正比例关系的情形存在，应力应变不再一一对应。应力应变除瞬时关系外，尚有时效应，有滞后现象。在弹性范围内，当应力保持σa不变时，应变不保持在εa值，而是随时间缓慢地增大;撤去应力时，应变也不立即为零，而是随时间缓慢地回到零。

胡克定律的推广作为描述弹性全过程的定律，胡克定律必须加以推广。假设：(1)应变不仅与应力有关，且与加应力的速率有关;(2)应力不仅与应变有关，且与应变的速率有关。

ε=C1σ+C2σ

σ=C3ε+C4σ

C1、C2、C3、C4为常系数。

推广后的胡克定律为：

C1σ+C2σ=C3ε+C4ε

上式为一阶线性微分方程。方程还可简化为：

σ+τk·σ=MR(ε+τσ·ε)

τk为恒应变下应力驰豫时间，τσ为恒应力下应变驰豫时间，MR为驰豫弹性模量，方程的解为运动方程。

设初始条件为：当t=0时，突然加应力σ0，并在整个过程中保持不变，t=0时，ε=εo，从而解得：

ε(t)=M-1Rσo+(ε0-M-1Rσo)e-t/τσ1

胡克固体理想的完整固体结构理想的完整固体结构为：原子(离子)规则地在固体内沿三维空间均匀排列。原(离)子既无热运动又无热振动，只在电磁力作用下静止在各自的位置上，彼此的间距为d。当不受外力时，d保持不变。其模拟模型是：取出一原(离子)O，以倔强系数均为K的弹簧与其邻近原(离)子相联。加应力σ，电子云不适当的重迭或被拉开(视其受压或受张)，在电磁力下，立即发生与之单值对应16变ε。σ越大(电子云重迭(拉开)越厉害)，则ε越大，二者成正比例关系(在弹性范围内)。撤去应力σ，在电磁力下应变立即为零，无任何时间效应。胡克定律正是在这种模型下得到的。

实际固体结构实际的固体，其结构并非理想化的完整，都存在着不同程度的缺陷。原(离)子并不静止在自己的位置上，而是在一定温度下绕其平衡位置作热振动。由于热涨落，有的原(离)子因获得较大能量而脱离平衡位置，填入空隙中，称为“间隙原子”。原(离)子跑掉后，原来的位置便形成空位，称为“空穴”。这种间隙原子、空穴的产生，使原来规则的排列出现了错位，造成固体内局部的畸变，产生缺陷。这种间隙原子、空穴在固体中数量虽少，但却直接影响着弹性的性质。

应力、应变非单值关联的效应叫“滞弹性”。影响滞弹性的因素较多，这里主要从力学的角度进行讨论。在力学中，扩散应是其主要的过程。由于缺陷，原来十分对称的电磁力受到一定的破坏。不受外力时，间隙原(离)子、空穴作无规则的热运动。由于向各方向运动的机率相等，固体没有形变。加应力，并在整个过程中保持不变。应变最初达ε0值，接着间隙原子、空穴便在外力作用下开始作定向运动。间隙原子朝应力方向扩散，空穴则朝应力相反方向扩散。当然，由于热运动，相反过程亦同时存在，但只要应力不变，在一定温度下达一平衡状态，产生形变ε。

除去应力(σ=0)，间隙原子、空穴的定向运动停止，热运动便固体恢复。无论是加应力，还是除应力，其过程都是通过扩散来完成的，故有驰豫现象。实际固体结构模型能圆满地解释弹性和滞弹性，即解释了弹性的全过程。

理想的固体结构过于简单，由此建立的胡克定律在解释弹性全过程时不可避免地要遇到困难。由实际固体结构建立起的推广的胡克定律比较真实，能够解释弹性全过程。弹性全过程的研究无论在理论上还是在实际应用中都有一定的意义。特别是滞弹性的研究，可直接或间接探测物质的内部结构，为现代科学技术提供一定的依据2。