[科普中国]-阻尼模型

阻尼

阻尼是材料的三大功能特性(超塑性、阻尼特性和形状记忆特性)之一，它能够将材料的机械振动能量通过内部机制不可逆地转变为其它形式的能量(通常是热能)。因为机械振动能的耗散是通过内部机制来完成的，所以材料的这种性质也称为内耗(低频时)或超声衰减(高频时)。与其它两大功能特性相比，阻尼特性得到了最为广泛的应用，有着十分重要的研究价值和应用价值。

阻尼一般可以分为3类：系统阻尼、结构阻尼以及材料阻尼。系统阻尼是在系统中设置专用阻尼减振器，如减振弹簧、冲击阻尼器等。结构阻尼是在系统的某一振动结构上附加材料或形成附加结构，增加自身的阻尼能力。材料阻尼是材料本身所具有的阻尼特性。与其它两种阻尼相比，材料阻尼是最基本的阻尼形式，存在于各种材料之中，由于其广泛而重要的应用价值，很多人对它进行了广泛而深入的研究。研究材料阻尼很重要的方法就是建立一个能反应材料阻尼本构关系的理论模型，即材料阻尼模型。

阻尼模型阻尼模型由于阻尼材料内部结构的复杂性，材料的阻尼特性也是很复杂的，要想建立一个精确的数学模型来表示其性能也比较困难。对于阻尼材料来说，应力、应变、时间、温度等变量之间的函数关系通常是非线性的，表示材料特性的状态方程又受到诸如外力、温度场、磁场、化学反应和辐射等外部环境的干扰。因此，描述材料的阻尼特性通常都采用近似的表示方法。

人们在长期的研究过程中已经建立了几种阻尼模型，包括标准线性模型、通用化标准模型、复模量模型、分数导数模型、GHM模型等。这些模型具有各自不同的特点和适用范围，下面分别加以介绍。

标准线性模型对于一些小阻尼的材料，或者对于在一定的限制范围内(如小振幅情况下)聚合材料等大阻尼材料，可以用标准线性模型来描述。其状态方程是一种线性模型表示法：

σ+α′dσdt=Eε+δ′Edεdt(1)

式中E为弹性模量，α′为应力衰减常数，δ′为应变衰减常数。可以看出，该式形式简单，所以使得计算简单。但是与其它方法相比，它的使用范围受到很大的限制，只能在前面所说的小范围内使用。根据目前的应用情况，这种模型主要用在地表环境中。比如范家参用该模型对固体在半平面内传播的地震波进行了计算，得到了地震波的解析解。杜启振等人在弱黏滞性条件下采用该模型对粘弹性波在地球介质中的传播用有限元方法进行了计算，得到了波场传播特征。孙昱等人将桩周围的土对桩的作用以标准线性固体模型来表示，研究了桩周土对桩的动力作用1。

通用化标准模型为了减少上述模型在使用时的限制，可以在(1)式中引入σ和ε的导数项，使它更符合实际情况，这时得到：

σ+∑∞n=1α′ndnσdtn=Eε+E∑∞n=1δ′ndnεdtn(2)

式中E为弹性模量，α′n为应力衰减常数，δ′n为应变衰减常数。n为导数项的阶数，其值可以根据实际情况适当的选择。这种模型是标准模型的推广，主要用于理论分析上，在实际中由于其实际计算的复杂性而应用较少。由于粘弹性材料(VEM)的剪切模量随温度和频率的变化而变化，以上的模型的应用无法描述这一特性，所以一般只适用于弱粘弹性材料。而以下的几种模型主要用于对各种VEM进行计算。其中用得较多的就是复模量模型。

复模量模型复模量模型又分为复常数模量和频变复模量模型，是分析粘弹性材料结构动力学响应特性较为有效的方法2。

复常数模量模型在许多的研究中均用复常数模量形式，即：

E=ER+jEI=ER(1+jη)(3)

式中ER是存贮模量，表示存贮能量的能力;EI是损耗模量，表示能量的耗散程度;j=-1，是虚数单位;η是材料的损耗因子，有：

η=EIER(4)

在文献中还有这样一种复模量的定义：

E*=σε=σ0ε0(cosα+isinα)(5)

对比(3)式和(5)式可得：

弹性模量E=σ0ε0cosα(6)

损耗因子η=tgα(7)

则粘弹性材料的应力-应变关系为：

σ=E*ε=E(1+iη)ε(8)

上述模型中，各量均为常数，并没有考虑频变特性，因此其适用范围只限于频变较小的情况。比如黄润秋等人在对隧址区山体的地震动作用特点进行研究的过程中，采用复模量模型很好的模拟了岩石体的动力学性能。Rikards等构建了复合夹层梁、板的超级单元，夹层粘弹性材料特性采用了复模量模型进行描述，但是没有考虑粘弹性材料特性随频率而变化的事实。秦惠增等人借助有关粘弹性材料结构动力学分析的复模量模型，推出简谐激励作用下形状记忆合金(SMA)层面内的变形和应力之间的关系。

频变复模量模型

复常数模量模型虽然可以使得计算简单，但是不能反映出材料的频变性质。人们为了反映材料的频变性质，通过实验方法由数据拟合来得到频变的复模量：

E(ω)=ER(ω)(1+jηv(ω))(9)

则粘弹性材料的应力-应变关系为：

σ=E(ω)ε=ER(ω)(1+jηv(ω))ε(10)

其中：ER(ω)=aEωbE，ηv(ω)=aηωbη

aE、aη及bE、bη均为拟合常数。频变复模量模型可以反映VEM的频变特性，与常数复模量模型相比，其适用范围更加广泛，结果也更准确。比如粱军用该模型对复合材料的动态粘弹性能进行了研究，分析了材料复模量随夹杂体积分数、载荷频率之间的变化规律。任志刚等人采用频变复模量模型模拟了夹层粘弹性材料特性的频率相关性，并提出了采用模态应变能迭代及复特征值迭代求解复合夹层结构的各阶频率及损耗因子的方法。但与复常数模量模型一样，它无法揭示VEM的力学本质，计算也较为复杂。