[科普中国]-割线刚度矩阵

概念

非线性稳定性分析中常用到割线刚度矩阵与切线刚度矩阵，其中，前者用于全量形式的平衡方程，后者用于增量形式的平衡方程。切线刚度矩阵常用于判断临界点的稳定性和对临界点进行分类。基于有限元法，考虑了结构可能存在初始缺陷的情况，从结构的能量表达式出发，推导了二者之间的数学关系。具体做法是：针对具有任意多自由度和任意参数变量（如任意荷载或初始缺陷）的结构，从结构的通用总势能泰勒级数展开式出发，推导得出结构的切线刚度矩阵和割线刚度矩阵之间的数量关系。

基本原理若把应力和应变都分解为偏张量与球张量之和：

和 分别为应力偏量和应变偏量， 和 分别为平均应力和平均应变：

对于各向同性弹性体，虎克定律可写成：

对线性弹性体，应力偏量和应变偏量相似，比例常数为 。

现在来看弹塑性变形，根据实验资料，假定材料的体积变化是弹性的，即 式子仍成立。塑性形变理论认为应变偏量和应力偏量仍相似，不过，相似系数 是与变形状态有关的一个量：

当 时， 式子就是虎克定律。等效应力和等效应变可通过偏量分别表示为

和

将式子 代入 和 两式，可以得到：

其中 是割线模量，是由单向拉伸压缩的应力-应变曲线确定的。

此时由 、 、 、 、 和 这些式子，可得：

由条件 ，可以求得弹塑性状态的泊松比：

式子成为 ，它形式上是与弹性体的虎克定律是一致的，不过对线性弹性体而言，弹性模量 和泊松比是常量，而式子中的割线模量和泊松比是随应力、应变状态而变化的，则弹塑性体的单元的割线刚度矩阵为。1