[科普中国]-通用墨卡尔投影

概念

通用墨卡尔投影是一种地图投影方式，是墨卡托投影的推广。是英、美、日、加拿大等国地形图最通用的投影。简称“UTM投影”。属等角横轴割圆柱投影。因投影圆柱与地球相割，中央经线投影后的长度比为0.9996，投影带各部分的长度变形比较平稳，其6°带内长度变形小于0.1%。1

地图投影按照一定的数学法则将地球椭球面上的经纬线转移到平面上的方法。也就是使地球椭球面上各点的地理坐标与平面上各点的直角坐标(或极坐标)保持一定的函数关系。地球椭球面是曲面，而地图是绘制在平面上，因此制图时首先要把曲面展为平面。然而地球椭球面是个不可展的曲面，假如把它直接展为平面，必然发生破裂或褶皱，用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实用的。所以必须采用数学方法将曲面展为平面，以保持平面上图形的完整和连续。地图投影方法很多，但不论采用什么投影方法所得到的经纬线网形状都不可能与地球椭球面上的经纬线网形状完全相似。这表明投影之后地图上的经纬线网发生了变形，因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地理事物也必然随之产生变形。变形主要表现在三个方面： 长度变形、面积变形和角度变形。变形是不可避免的，但若给予一定的条件，如等角条件，等积条件，则可使其中某种变形等于零，用以满足不同用途对地图投影的要求。按变形性质地图投影可分为三类：等角投影、等积投影和任意投影(包括等距投影)。

地图投影最初建立在透视的几何原理上，它是把地球椭球面直接透视到平面上，或透视到可展为平面的曲面上，如圆柱面和圆锥面。这样就得到具有几何意义的方位、圆柱和圆锥投影。随着科学的发展，为了使地图上变形尽量减小，或者为了使地图满足某些特定要求，地图投影逐渐跳出了原来借助几何面构成投影的框子，而产生了一系列按照数学条件构成的投影。按照构成方法可以把地图投影分为两大类： 几何投影和非几何投影。几何投影是把地球椭球面上的经纬线投影到几何面上，然后将几何面展为平面而成的。根据几何面的形状可以分为方位投影、圆柱投影和圆锥投影。非几何投影是不借助于几何面，根据某些条件用数学解析法确定地球椭球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬线形状又分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影。

圆柱投影以圆柱面作为投影面，使圆柱面与地球相切或相割，将地球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开展为平面而成。由于圆柱面与地球相切或相割的位置不同，有正轴圆柱投影、横轴圆柱投影和斜轴圆柱投影。正轴圆柱投影是圆柱的轴与地轴重合，横轴圆柱投影是圆柱的轴与地轴垂直，斜轴圆柱投影是圆柱的轴与地轴斜交。正轴圆柱投影的经纬线形状比较简单，称为标准网。纬线为平行直线，经线为与纬线垂直且间隔相等的平行直线。在这类投影图上任意一点的位置是用直角坐标表示的。设以某一条经线为X轴，赤道为Y轴，由于纬线投影为平行于赤道的直线，所以X坐标仅依纬度的变化而变化，即X是纬度q的函数，一般用X=f(q)式表达。经线为与赤道垂直的平行直线，经线间的间隔与相应的经差λ成正比，故Y坐标与经差成正比，即y=cλ(c—常数)。因此正轴圆柱投影的一般公式为：

c值由切圆柱或割圆柱的条件决定。由于决定x函数形式的方法不同，有等角圆柱投影、等积圆柱投影和任意(包括等距)圆柱投影。无论哪一种圆柱投影，其变形分布有着大致相同的规律。凡是切圆柱投影，赤道是一条没有变形的线，亦称标准纬线。从标准纬线向北、向南变形逐渐增大;凡是割圆柱投影，相割的两条纬线没有变形，是两条标准纬线，离标准纬线愈远，变形愈大。等变形线与纬线平行，呈平行线状分布。圆柱投影适宜绘制赤道附近和沿赤道两侧呈东西方向延伸地区的地图。

在圆柱投影中应用比较广泛的是正轴等角圆柱投影，又名墨卡托投影。在这个投影图上赤道是标准纬线，其他各纬线的长度比均大于1。为了保持等角特性，任一点的经线长度比均等于该点的纬线长度比，因此除赤道处经线长度比等于1之外，其他地方的经线长度比也随纬度的增加而增大。例如在纬度60°地方，纬线与经线的长度比均为2，纬度80°地方，经线和纬线长度比均等于5.7。由于经线长度比随纬度增高而增大，故图上纬线间隔从赤道向两极逐渐增大。极地不能表示出来。

墨卡托投影具有一个很重要的特性，就是把等角航线(又称斜航线)表现为直线，所以它在编制航海图和航空图中被广泛采用。例如我国编绘比例尺小于1∶2.5万的海图采用的是这个投影。此外，由于这个投影在低纬度地区变形小，而且经纬线形状简单，常用于绘制赤道附近的分国地图。例如我国地图出版社出版的一整套分国地图中，沿赤道的分区地图均采用这个投影。2

墨卡托投影又称正轴等角圆柱投影。荷兰制图学家墨卡托于 1569年创制的一种使地图无角度变形，赤道符合主比例尺，各纬线均与赤道等长的投影方法。 墨卡托投影以一个圆柱轴和地轴重合的假定圆 柱面作为投影面，按照等角投影的条件，将经纬网投影到圆柱面上，再将圆柱面展平而成。在这种投影中，赤道为圆柱面和地球面的切线，是 一条无变形的标准线，其余纬线都与赤道平行 且等长，各纬线均按经差等分;经线为一组垂直于纬线的平行直线，纬线间距由赤道向高纬增 大，两极在图上则无法表示。按照等角 投影的特性，在墨卡托投影中，球面上的小圆投 影后仍保持圆形，但为保证等角及各纬线与赤道等长，必须使地图上每一点的经线比例尺和纬线比例尺相等，且随纬度的增加而增大。因此，墨卡托投影只是在小范围内保持与实地轮廓相似，在地图区域很大时，仍会有显著的形状变形，而且面积变形很大，在纬度60°处面积比例已比实际扩大了4倍；在纬度80°附近已扩大了33倍多。例如地处高纬的格陵兰岛，在墨卡托投影图上，比实际面积8倍于它的南美洲 还显得大。故除赤道附近东西延伸地区外，墨 卡托投影不宜用于制作各类表示地理事象分布情况的地图，而主要适用于绘制海图。这是因为在该投影图上无角度变形，且经线为平行直线。所以地球表面上与经线相交成相同角度的 曲线，即等角航线在图上均表现为直线。这一 特性对航海、航空具有极重要的意义。据此，即可在图上将航行起点和终点连一直线，并量测 其与邻近经线的夹角，该象限角就是飞机或船只驶航的方向，而该直线即是沿等角航线驶航的路线。这就解决了16世纪航海上最大的技术难关，对促进地理探险、扩大国际交往都起到了极为重要的作用。但是等角航线并非是地球 面上两点间的最短距离，地球面上两点间的最 短距离是通过它们之间的大圆弧(又称大圆航线)。例如从非洲南端的开普敦到澳大利亚的 墨尔本，沿等角航线为6020海里，而沿大圆航 线则仅为5 450海里。因此，完全沿等角航线 航行是不经济的。在实际航行时常沿趋近于大 圆航线的折线航行，每航行一段距离，就作一次方位调整。即在每段航线上是沿等角航线航行 的，但就整个航程而言，则是接近于大圆航线的。这样既可缩短航程，又可减少定向上的困 难。随着人造天体的发射，人类探索宇宙进入了一个新时代，墨卡托投影也被选作其他天体制图的基础，如月球、水星、火星、木星和土星等。

人物简介——墨卡托16世纪的地图制图学家。精通天文、数学和地理。1912年3月5日出生于荷兰佛兰德斯省(现比利时安特卫普附近)。1530—1532年就读于卢万大学。1552年移居德国的杜伊斯堡。早在1537年绘制了第一幅地图(巴勒斯坦)，后接受对佛兰德斯进行实地测绘任务，采用哥伦布发现的磁子午线为标准经线，为实测地图的开端。1540年在卢万开设地图作坊，印出依比例实测地图，引起广泛重视，并制成了地球仪，1568年制成著名航海地图“世界平面图”，该图采用墨卡托设计的等角投影，被称为“墨卡托投影”，可使航海者用直线(即等角航线)导航，并且第一次将世界完整地表现在地图上，1630年以后普遍被采用，对世界性航海、贸易、探险等有重要作用，至今仍为最常用的海图投影。晚年所著《地图与记述》是地图集巨著，轰动世界，封面上有古希腊神话中的撑天巨人阿特拉斯像，后人将“Atlas”用作地图集同义词，至今沿用。墨卡托是地图发展史上划时代人物，结束了托勒密时代的传统观念，开辟了近代地图学发展的广阔道路。3