[科普中国]-第一型曲线积分

定义

设 为平面上可求长度的曲线段， 为定义在 上的函数．对曲线 作分割 ，它把分成 个可求长度的小曲线段 ， 的弧长记为 ，分割 的细度为 ，在 上任取一点 , 若存在极限

且它的值与分割及点的取法无关，则称此极限 为 在 上的第一型曲线积分1，记为

或者简写成。

设 为空间上可求长度的曲线段， 为定义在 上的函数．对曲线 作分割 ，它把分成 个可求长度的小曲线段 ， 的弧长记为 ，分割 的细度为 ，在 上任取一点 , 若存在极限

且它的值与分割及点的取法无关，则称此极限 为 在 上的第一型曲线积分，记为

对于一般维空间中曲线，可同样给出定义。

物理意义当 是平面上某一可求长度的曲线， 是其密度函数，当计算物体的质量问题时便须要第一型曲线积分．首先对 作分割,把分成n个可求长度的小曲线段 (i=1，2，…，n)，并在每一个上任取一点 ，由于密度函数为连续函数,故当的弧长都很小时，每一小段的质量可近似地等于 ,其中 为小曲线段的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式

当对的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量2．

性质第一型曲线积分具有下述一些重要性质1:

1)．若存在，为常数，则也存在，且

2)．若曲线段由曲线首尾相接而成，且都存在，则也存在，且

3)．若与都存在，且在上, 则

4)．若存在，则也存在，且

第一型曲线积分的计算设有光滑曲线，函数为定义在上的连续函数，则

应用下面给出二个常用的应用。

1) 空间曲线的重心坐标为1

2)曲线绕z轴(x, y轴)的转动惯量2是