[科普中国]-梯度场

场的概念

若对全空间或其中某一区域 中的每一点 ，都有一个数量（或向量）与之对应，则称在 上给定了一个数量场（或向量场）。

温度场和密度场都是数量场。在空间中引进了直角坐标系以后，空间中点 的位置可由坐标系确定。因此，给定了某个数量场就等于给定了一个数量函数 。在以下讨论中，假设 对每个变量都有连续偏导数。若这些偏导数不同时等于零，则满足方程

的所有的点通常是一个曲面，其中 是常数。在这些曲面上函数 都取同一值，因此常称它为等值面。例如温度场中的等温面等。

向量场可以重力场或速度场为例。当引进直角坐标系后，向量场就与向量函数 相对应。设 在三个坐标轴上的投影分别为

则

这里 为所定义区域上的数量函数，并假定它们有连续偏导数。

设 为向量场中的一条曲线。若 上每点 处的切线方向都与向量函数 在该点的方向一致，即

则称曲线 为向量场 的向量场线1。例如电力线、磁力线等都是向量场线。

需要注意，场的性质是它自己的属性，和坐标系的引进无关。引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来研究它的性质。

梯度场与方向导数（1）梯度场的概念由数量场 所得到的矢量场

称为数量场 的梯度场2；对于定点 ，矢量

称为数量场在点的梯度。

其中的算符

称为哈密顿算符，读作“Nabla”。

（2）方向导数① 定义1 设函数在点的附近有定义，是从出发的射线，并设的单位方向矢量是，

是上任意一点。如果极限

存在，则称这极限是函数在点沿方向的方向导数。

② 计算公式

由此公式知：数量场的梯度刚好描述了数量场变化最大的方向和数值；所以，虽然梯度定义中用到了坐标系，但梯度这个矢量是和坐标系的选择无关的。

梯度的基本性质1、若是数量函数，则

2、若是数量函数，则

特别地有

3、若，则

4、若，则

5、若，则

应用例1 设质量为的质点位于原点，质量为的质点位于，记，求的梯度。

解

若以表示上的单位向量，则有

它表示两质点间的引力，方向朝着原点，大小是与质量的乘积成比例，与两点间的距离的平方成反比。这说明了引力场是数量函数的梯度场。因此常称为引力势。