定义
设
是一列定义在同一数集 上的函数,称为定义在 上的函数列。
设 ,以 代入(1)可得数列
若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点 收敛, 称为函数列(1)的收敛点。若数列(2)发散,则称函数列(1)在点 发散。若函数列(1)在数集 上每一点都收敛,则称(1)在数集 上收敛。这时 上每一点 ,都有数列 的一个极限值与之相对应,由这个对应法则所确定的 上的函数,称为(1)的**极限函数1。**若把此极限记作 ,则有
或
函数列极限的 定义是:对每一固定的 ,任给正数 ,恒存在正数 (注意:一般说来 值的确定与 和 的值都有关,所以也用 表示它们之间的依赖关系),使得当 时,总有
使函数列 收敛的全体收敛点集合,称为函数列 的收敛域。
应用例1 设 为定义在 上的函数列,证明它的收敛域是 ,且有极限函数
证 任给 (不妨设 ),当 ,由于
只要取 ,当 时,就有
当 和 时,则对任何正整数 ,都有
这就证得 在 上收敛,且有(3)式所表示的极限函数。
当 时,则有 ,当 时,对应的数列为
它显然是发散的. 所以函数列 在区间 外都是发散的。
例 2 定义在 上的函数列。 由于对任何实数 ,都有
故对任给的 ,只要 ,就有
所以函数列 的收敛域为无限区间 ,极限函数 。