[科普中国]-连续体力学

理论基础

工程实际问题往往比较复杂，例如，物体的大小和形状对它自身的运动毕竟有一定的影响。对于如飞轮转动时的惯性、飞机飞行时所受到的空气阻力以及物体受力时所发生的形变等问题，都需要考虑物体的形状、大小以及它们在运动中的变化。从物理学史看，17世纪牛顿建立了牛顿运动定律和万有引力理论之后，经典力学大致朝两个方面继续发展：一个方面是朝分析力学的方向发展，简称为朝“纵向”发展，出现了虚位移原理、达朗贝尔原理、拉格朗日方程、哈密顿原理等；另一方面是朝连续体力学的方向发展，出现了刚体力学、弹性力学、流体力学等众多的分支学科，并正在向理性力学方向飞跃，以着眼于用统一的观点和严密的逻辑推理，来研究连续介质力学的带有共性的基础问题，简称向“横向”发展。2

所谓连续体(continuous medium)的概念，是采用在宏观上分析材料，在整体上描述其力学性质时的物体，通常，我们称为弹性体或弹塑性的材料就与此相当。本章在土木工程学的领域研究材料的各种性质之后，简单地说明认为必要的二、三个基本事项。

在描述材料的力学性质方面，认为有两种观点。即在宏观上描述现象或在微观上掌握它。所谓在微观上描述现象是从最简单的元素来描述材料所具有的物理机理，例如从晶粒的排列或原子间能量的结合状态等来描述。与此相反，在宏观上描述，可以说是在整体上表示现象，象通常数学上的描述那样简明地连续地表现力学行为是主要的问题。因而，问题是怎样连续地表达连续外部力的作用方法的表示及物体的变形才好，为了把物体材料作为一个连续的整体来看，把应力、应变、相容条件以及本构方程式作 为分析的对象。3

研究内容连续体力学的方程分作两大类：首先是同样适用子所有物质韵方程，它们描述普遍适用的物理定律，如质量与能量的守恒；其次是描述特殊物质力学性能的方程，称之为本构方程。

连续体力学的问题也分作两大类：首先是建立本构方程，这些方程适宜描述各种各类特殊物质的力学性能，这些方程的建立主要依赖乎实验，但为了设计适当的实验和解释实验结果，需要一定的理论体系；第二类问题是，应用连续体力学的普适方程并根据适当的边界条件求解本构方程，证实本构方程的有效性，推测和描述物质在具有工程的，物理或数学的意义下所具有的性能，在这个求解问题的阶段，连续体力学的各个分支便不一样了，我们把这方面的问题留给更全面和更专门的著作去解决。1

连续体力学中的有限元法有限元法还已经扩展到连续体力学的其它领域的问题中。例如：棱形柱的扭转、稳态热传导、理想流体的势流和许多其它的连续体力学的问题，都是用相似的椭圆方程控制的，因此都可以由同样的有限元方案来解。其结果是，对于流体力学和扩散问题的大多数现有的有限元解，或是依据于某个变分原理，或是用变分语句的形式来表达。这样，在有限元解固体力学问题中获得的经验，可以应用于某些其它的连续体力学的问题上。对于在连续
体力学中的某些边值问题来说，亦存在有把这解变换成其变量是在域表面上定义的积分方程的方法。将这表面分割成离散的单元，就可以对这导出的问题列出有限元法的公式。4