[科普中国]-δ-函数

概念

物理学中常常要研究一个物理量在空间或时间中分布的密度，例如质量密度、电荷密度、每单位时间传递的动量（即力）等等，但是物理学中又常用到质点、点电荷、瞬时力等抽象模型，他们不是连续分布于空间或时间中，而是集中在空间中的某一点或者时间中的某一瞬时，那么它们的密度应该如何表示呢？

为了在数学上理想地表示出这种密度分布，引入了δ函数的概念。用数学表示为：

上述表达式不规定δ函数在0点的取值，是因为这个值无法严谨地表述出来，不能笼统的定义为正无穷，并且函数取值的“大小”是由第二个积分式决定的，因此只需限定取值为零的区域即可。如果函数不在0点取非零值，而在其他地方，可定义：

多维δ函数定义在多维空间中的δ函数定义如下：

例如在三维空间中，三维δ函数可表示为三个一维δ函数乘积表示，在直角坐标系中，

在极坐标系中，

在球坐标系中，

性质多维的δ函数主要性质：

位矢的微分δ函数可以表示如下：

静电场密度表示点电荷等抽象模型的密度分布可以表示为：

一组点电荷的电荷密度可以表示为：

不仅可以用δ函数表示点电荷的密度分布，还可以表示圆柱、球壳上的电荷密度。例如，在电荷q均匀分布在半径为a的球上，在球坐标系中其电荷密度为：

在半径为b的圆柱上均匀分布的电荷单位长度的电荷为，在柱坐标系中其电荷密度为：

电场的方程电学的高斯定理微分形式为：

电场强度为：

因此位矢的微分可以表示成：

也可代入电荷密度的表达式直接得到。3