[科普中国]-自适应广义预测控制

自适应控制

自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的系统，这里所谓的“不确定性”是指描述被控对象及其环境的数学模型不是完全确定的，其中包含一些未知因素和随机因素。

任何一个实际系统都具有不同程度的不确定性，这些不确定性有时表现在系统内部，有时表现在系统的外部。从系统内部来讲，描述被控对象的数学模型的结构和参数，设计者事先并不一定能准确知道。作为外部环境对系统的影响，可以等效地用许多扰动来表示。这些扰动通常是不可预测的。此外，还有一些测量时产生的不确定因素进入系统。面对这些客观存在的各式各样的不确定性，如何设计适当的控制作用，使得某一指定的性能指标达到并保持最优或者近似最优，这就是自适应控制所要研究解决的问题。

自适应控制和常规的反馈控制和最优控制一样，也是一种基于数学模型的控制方法，所不同的只是自适应控制所依据的关于模型和扰动的先验知识比较少，需要在系统的运行过程中去不断提取有关模型的信息，使模型逐步完善。具体地说，可以依据对象的输入输出数据，不断地辨识模型参数，这个过程称为系统的在线辩识。随着生产过程的不断进行，通过在线辩识，模型会变得越来越准确，越来越接近于实际。既然模型在不断的改进，显然，基于这种模型综合出来的控制作用也将随之不断的改进。在这个意义下，控制系统具有一定的适应能力。比如说，当系统在设计阶段，由于对象特性的初始信息比较缺乏，系统在刚开始投入运行时可能性能不理想，但是只要经过一段时间的运行，通过在线辩识和控制以后，控制系统逐渐适应，最终将自身调整到一个满意的工作状态。再比如某些控制对象，其特性可能在运行过程中要发生较大的变化，但通过在线辩识和改变控制器参数，系统也能逐渐适应。

常规的反馈控制系统对于系统内部特性的变化和外部扰动的影响都具有一定的抑制能力，但是由于控制器参数是固定的，所以当系统内部特性变化或者外部扰动的变化幅度很大时，系统的性能常常会大幅度下降，甚至是不稳定。所以对那些对象特性或扰动特性变化范围很大，同时又要求经常保持高性能指标的一类系统，采取自适应控制是合适的。但是同时也应当指出，自适应控制比常规反馈控制要复杂的多，成本也高的多，因此只是在用常规反馈达不到所期望的性能时，才会考虑采用。1

广义预测控制广义预测控制技术最初由Clarke和其合作者于1987年提出，它采用传统的参数模型(如CARIMA模型)，参数的数目较少，对于过程参数慢时变的系统，易于在线估计参数。由于引入了不相等的预测水平和控制水平，具有预测模型、滚动优化和反馈校正三个基本特征，呈现了优良的控制性能，被认为是具有代表性的预测控制算法之一，受到学术和工程界的广泛关注。但是基本的广义预测控制需要进行矩阵求逆运算，计算量很大，不适合要求快速响应的实时控制系统。

广义预测控制(GPC)具有预测模型、滚动优化和反馈校正等基本特征，呈现出优良的控制性能和鲁棒性，已广泛应用于工业过程控制。目前 GPC算法可分为间接算法和直接算法。

间接算法通过辨识被控对象的参数, 进行多步预测和在线滚动优化来设计控制律, 其缺点是需要求解逆矩阵。计算量很大。为此，在性能指标中引入下三角加权矩阵, 以避免矩阵求逆, 减少了计算量。根据待求逆矩阵中元素排列的特殊性进行矩阵分解, 并给出递推求逆算法, 将计算量减少了 2/3。

直接算法则根据某种规律直接辨识控制器的参数, 避免了在线求逆。通过引入等价性能指标, 先采用最小二乘法辨识被控对象的参数得到广义输出, 然后再辨识控制器参数, 并给出一种隐式 GPC 算法。

算法的改进采用其它数学预测模型的 GPC算法通过不同的数学模型可从不同的角度研究系统的特性。 GPC最初是基于 CARIM A模型推导的，CARIM A模型固有的积分作用有助于消除系统的静态偏差；许多学者将GPC推广到其它的预测模型 ，如CARMA模型、状态空间模型等等。应用预测模型推导了 GPC算法 在辨识之前先对数据进行特殊的滤波处理，以消除外界的突然干扰 ，并克服高速采样频率的作用。由于状态空间有利于控制系统的稳定性分析，一些学者从状态空间的角度研究了预测控制算法；将时域与频域相结合 ，使系统在时域上有较大的稳定裕度 ，通过加权多步预测得出稳定裕度的定量结果 ，利用频域特性拟合得出系统的降阶模型 ，提出了适用于降阶模型的多步预测控制算法；利用离散 Laguerre函数的性质建立对象的非结构模型 ，提出了一种非结构模型的广义预测控制器；采用优化方法确定对象的近似特征序列，提出了特征结构下的预测控制算法和相应的闭环反馈结构；则利用误差的历史数据来建立误差的预测模型，以误差预测补充模型预测 ，给出了基于误差预测修正的GPC算法.这些研究为我们从不同的角度研究和分析广义预测控制系统创造了条件。

在线算法的改进在实际应用中，由于被控对象的时变、非线性、外界干扰等因素的影响，对象的参数往往很难精确得到，因此在实施GPC算法时，需要在线估计控制对象的参数，用于设计控制器。由于GPC算法中控制增量的计算涉及到矩阵求逆，因而在线计算量相当大。一些学者针对这一问题进行了研究，来减少算法的计算量。在提出 GPC算法时，给出了递推求解 Diophantine方程的方法；利用参数辨识的结果直接求解控制器，不用求解 Diophantine方程 ,减少了计算量；采用递推的方法建立预测模型，避免了求解 Diophantine方程，且算法不受多项式稳定的限制；袁著祉老师提出的递推广义预测控制器中给出了逆矩阵的递推算法，减少了计算量，同时该文还采用递推平方根法取代最小二乘法估计参数，改善了估计精度；根据待求逆矩阵中元素排列的特殊性，给出了求解逆矩阵的递推算法，进一步减少了计算量，其求逆计算量仅为通常的增广矩阵法的 30 % ；还提出了在性能指标函数中引入特殊的下三角加权矩阵，避免求解逆矩阵的算法，但算法对加权下三角矩阵的选择有一定的要求，提出了并行结构分解的算法，提高了在线计算效率。这些算法都是从减少计算量的角度来改进算法 ,以进一步满足实时控制的需要。另一种节省在线计算时间的算法是并行算法。慕德俊等分别针对状态空间模型和输入输出模型，采用递推的方法 ，将 GPC化为解 Ric-cati方程 ,基于脉冲阵列结构，提出了参数辨识的并行方法，给出的 GPC并行算法的最小二乘估计中的计算可并行 ，计算中 i对 j 可并行，求解 Doiphantine方程中，E和 F的计算可并行；此外还有将辨识与控制分离的 GPC算法。.这些并行算法提高了 GPC的实时性，为 GPC的实际应用打下了理论基础。

广义预测极点配置控制算法为了保证闭环系统的稳定性，1987年，Lelic和 Tarrop结合极点配置算法，提出了广义极点配置自校正控制器 ，使闭环系统具有较好的控制性能；在性能指标函数中采用了加权系数，通过选择适当的加权系数来使闭环系统的极点配置在预先指定的位置，来改善系统的性能；通过在线选择加权项进行极点配置 ,避免 GPC的在线求逆；利用 GPC和极点配置，侧重系统的跟踪特性、自适应能力、降阶建模和鲁棒性，给出了广义预测极点配置的实际应用例子。

稳定广义预测控制算法稳定广义预测控制算法（Stable Generalized Predictive Control，SGPC）是由Kouvaritakis等提出的一种控制方法．该方法是针对广义预测控制（GPC）算法缺乏稳定性保证而提出的一种改进算法。SGPC首先通过引入一种反馈控制结构，以此来简化系统内部的某些关键变量之间的关系，然后通过优化目标函数找到参考时域内的最优参考信号序列，从而得到控制量的增量．该方法通过对未来参考信号的约束，间接实现了对未来系统输出的约束，进而保证系统的稳定性。2

与其它最优控制相结合的 GPC算法各种传统的控制方法以及优化控制都有其自身的优点，将这些算法与广义预测控制相结合，扬长避短，有助于进一步改善控制系统的特性.由于传统的 PID控制算法简单，易于实现，至今仍在大量的控制过程中得到广泛的应用。将PID算法与 GPC相结合的研究成果有采用了 PI型的性能指标的 PI型广义预测控制算法、炼油装置加热炉出口温度的 GPC-PID串级控制算法等；将神经网络、 PID和 GPC有机地结合在一起 ，提出了基于 BP网络的PID型预测控制器。神经网络在并行计算和处理非线性系统方面有其独特的优越性。将神经网络用于 GPC的研究成果有利用 Tank-Hopfield网络处理 GPC矩阵求逆的算法、基于神经网络误差修正的GPC算法、利用小脑模型进行提前计算的 GPC算法、基于 GPC的对角递归神经网络控制方法以及用神经网络处理约束情形的预测控制算法等。

控制系统的分析目前 GPC算法的稳定性和鲁棒性分析大多依赖于计算机仿真和实际控制其理论分析还相当缺乏，这是由于 GPC引入了多步预测和柔化作用以及 GPC算法本身的特殊性，使广义预测控制系统的分析相当复杂。目前的分析结果都是在一定的条件下得出的。

稳定性分析当预测模型没有建模误差时， Clarke等人从状态空间的角度对 GPC的稳定性进行了分析，认为当开环系统能稳可测时，通过选择适当的参数，可以使闭环系统在有限时域内稳定，并产生稳定的状态最小拍控制；当预测长度趋近无穷大时，闭环系统稳定，但算法的计算量将随预测长度的增加而呈指数倍增长，这就要求预测长度在适当的范围之内，因此在一般情形下， GPC算法并不一定能保证系统的闭环稳定性。针对这个问题，众多学者进行了大量的研究，有些学者通过对算法的改进来保证系统的闭环稳定性，如上节中提到的各种稳定的广义预测控制算法；还有一些学者则直接从理论上来分析 GPC的稳定性，这些分析主要有两类：基于内模控制原理和状态空间分析。

基于内模控制原理

采用内模控制原理分析 GPC的稳定性以席裕庚等人为代表。将 GPC结构转换为内模结构，推导了控制器的表达式，认为 GPC系统的动态特性取决于控制器多项式的极点，GPC算法不改变系统的纯滞后或非最小相位特性；且当闭环系统稳定时， GPC可有效地抑制确定性的干扰；GPC最优控制的可解性，研究了系统闭环特性与设计参数的关系；给出了选择设计参数使 GPC闭环系统具有最小拍性质的结论，即在 p个周期后，系统的脉冲响应为 0，使系统 p拍后达到稳定；此外，席裕庚等人还分析了闭环系统的性质，讨论了闭环系统的阶次；并给出了根据阶跃响应来保证系统闭环稳定的参数设计条件。

状态空间分析

状态空间描述比较有利于系统的稳定性分析，在噪声强度不大和无结构型建模误差的条件下，GPC是一种性能优良、闭环稳定的算法，适用于阶次上界已知的对象，适用于时滞未知但上界已知的对象，适用于非最小相位系统，适用于能稳能测的开环不稳定系统，具有良好的跟踪和稳态性能，能抑制确定性干扰，优于极点配置、 LQG、广义最小方差控制器等算法；分析表明，若开环系统稳定，预测模型无偏差，则当预测长度足够大时，闭环系统稳定；分析了输入输出受限时的稳定性，给出了闭环稳定的条件；GPC增加的极点在 Z平面的原点上，在预测长度相同时，系统的稳定性与时滞无关；广义预测控制系统的状态空间结构，指出其实质是一种状态反馈，通过选择适当的控制器参数可以保证系统的闭环稳定性，指出闭环系统与开环系统有相同的阶次，它不改变系统的零点，但有助于克服纯滞后对系统闭环特性的影响；当系统时滞已知时，选择控制量加权系数为 0可保证最小相位系统闭环稳定，若参数摄动不改变系统的最小相位特性，则闭环系统鲁棒稳定。3

鲁棒性分析鲁棒性是系统存在建模误差或摄动时的稳定性，目前对 GPC的鲁棒性分析成果包括最优性和稳定性的鲁棒性分析，有离散域和频域的。 Clarke对 GPC的鲁棒性作了简单的分析，但没有涉及到任意预测长度下的鲁棒性问题；GPC的强鲁棒性源于对系统建模误差的预测功能，认为若预测精度较高，预测时域长，则可改善 GPC的最优鲁棒性；同时GPC的稳定鲁棒性较经典的最优控制有了提高，它改善了系统的信噪比；采用输入输出模型，给出了保证 GPC鲁棒性的必要条件，认为噪声多项式是改善鲁棒性的重要因素；噪声滤波器对系统鲁棒性的影响，认为当模型无失配时，系统的稳定性与噪声多项式无关，当模型失配时，可通过选择噪声滤波器来改善系统的鲁棒性；对具有干扰、饱和输入和非线性未建模动态的系统进行了综合设计，给出了输入输出鲁棒稳定的充分条件减少反馈通道的增益有助于提高鲁棒性；根据小增益定理，从频域分析了系统的鲁棒性，给出了闭环系统鲁棒稳定的条件。4