[科普中国]-非线性附加控制

背景

随着大区电网互联规模的日益增大，区域间低频振荡已成为限制互联系统输电能力、影响电网安全稳定运行的重要因素之一。利用直流系统的功率调制可有效抑制互联电网振荡，改善系统运行稳定性。而直流系统的功率调制功能，需在其控制系统中加入附加控制器来拓展。1

传统直流附加控制器大多基于线性化模型设计，如超前一滞后补偿控制圈、最优控制[[9]等。这种模型目标明确，结构简单，易于实现，在改善交直流互联电网动态稳定性方面已发挥重要作用。但控制系统的线性化模型依赖于系统元件的详细数学模型和精确参数。系统网络结构或元件参数发生变化时，控制器性能指标将受到影响和限制，严重时有可能恶化互联系统的稳定性。

近年来，随着非线性控制理论的发展，交直流互联系统的稳定控制问题也相应取得了一些进展。基于非线性系统的状态反馈线性化方法与线性系统的变结构控制理论所设计的直流非线性控制器，在改善直流系统性能的同时，提高了交流系统的电压稳定性。将李亚普诺夫直接法应用到直流系统附加阻尼控制器的设计中，改善了系统的动态稳定性。上述方法的研究对象仅限于电力系统强非线性模型的微分部分。而忽略非线性代数部分的影响。利用微分代数模型研究发电机励磁控制和直流系统的定电流控制，所研究的对象是单机无穷大交直流互联系统，直流逆变侧换流母线电压恒定，未考虑多机系统相互作用和直流闭锁对互联系统稳定性的影响，研究结果过于乐观，不利于推广到多机系统。

基于叠加原理，提出一种将微分代数模型状态反馈线性化分解为微分模型状态反馈线性化和关联代数模型状态反馈线性化的新方法。将该方法应用于多机交直流互联系统直流附加控制器设计中，计及电力系统非线性代数方程对直流功率调制的作用；考虑静态负荷电压和换流母线电压的影响，推导出附加控制器的控制策略。

非线性控制简介人类认识客观世界和改造世界的历史进程，总是由低级到高级，由简单到复杂，由表及里的纵深发展过程。在控制领域方面也是一样，最先研究的控制系统都是线性的。例如，瓦特蒸汽机调节器、液面高度的调节等。这是由于受到人类对自然现象认识的客观水平和解决实际问题的能力的限制，因为对线性系统的物理描述和数学求解是比较容易实现的事情，而且已经形成了一套完善的线性理论和分析研究方法。

但是，对于非线性系统来说，除极少数情况外，目前还没一套可行的通用方法，而且每种方法只能针对某一类问题有效，不能普遍适用。所以，可以这么说，我们对非线性控制系统的认识和处理，基本上还是处于初级阶段。另外，从我们对控制系统的精度要求来看，用线性系统理论来处理目前绝大多数工程技术问题，在一定范围内都可以得到满意的结果。

因此，一个真实系统的非线性因素常常被我们所忽略了，或者被用各种线性关系所代替了。这就是线性系统理论发展迅速并趋于完善，而非线性系统理论长期得不到重视和发展的主要原因。

非线性控制理论随着科学技术的发展，人们对实际生产过程的分析要求日益精密，各种较为精确的分析和科学实验的结果表明，任何一个实际的物理系统都是非线性的。所谓线性只是对非线性的一种简化或近似，或者说是非线性的一种特例。如最简单的欧姆定理。

欧姆定理的数学表达式为U=IR。此式说明，电阻两端的电压U是和通过它的电流I成正比，这是一种简单的线性关系。但是，即使对于这样一个最简单的单电阻系统来说，其动态特性，严格说来也是非线性的。因为当电流通过电阻以后就会产生热量，温度就要升高，而阻值随温度的升高就要发生变化。

欧姆定理非线性关系欧姆定理就不再是简单的线性关系了，而是如下式所示的一种非线性关系：

式中，R0是0℃时的电阻数值，mc是电阻的热容量，α为电阻的温度系数，t为电流通过电阻的时间。动力学中的虎克定理、热力学中的第一定律以及气体的内摩擦力等等也都有类似的情况。

对非线性控制系统的研究，到本世纪四十年代，已取得一些明显的进展。主要的分析方法有：相平面法、李亚普诺夫法和描述函数法等。这些方法都已经被广泛用来解决实际的非线性系统问题。但是这些方法都有一定的局限性，都不能成为分析非线性系统的通用方法。例如，用相平面法虽然能够获得系统的全部特征，如稳定性、过渡过程等，但大于三阶的系统无法应用。

李亚普诺夫法则仅限于分析系统的绝对稳定性问题，而且要求非线性元件的特性满足一定条件。虽然这些年来，国内外有不少学者一直在这方面进行研究，也研究出一些新的方法，如频率域的波波夫判据，广义圆判据，输入输出稳定性理论等。但总的来说，非线性控制系统理论目前仍处于发展阶段，远非完善，很多问题都还有待研究解决，领域十分宽广。

控制理论非线性控制理论作为很有前途的控制理论，将成为二十一世纪的控制理论的主旋律，将为我们人类社会提供更先进的控制系统，使自动化水平有更大的飞越。

控制系统有线性和非线性之分。严格地说，理想的线性系统在实际中并不存在。在分析非线性系统时，人们首先会想到使用在工作点附近小范围内线性化的方法，当实际系统的非线性程度不严重时，采用线性方法去进行研究具有实际意义。但是，如果实际系统的非线性程度比较严重，则不能采用在工作点附近小范围内线性化的方法去进行研究，否则会产生较大的误差，甚至会导致错误的结论。这时应采用非线性系统的研究方法进行研究。

非线性系统的分析方法大致可分为两类。运用相平面法或数字计算机仿真可以求得非线性系统的精确解，进而分析非线性系统的性能，但是相平面法只适用于一阶、二阶系统；建立在描述函数基础上的谐波平衡法可以对非线性系统作出定性分析，是分析非线性系统的简便而实用的方法，尤其在解决工程实际问题上，不须求得精确解时更为有效。

实际系统中的非线性因素实际的物理系统，由于其组成元件总是或多或少地带有非线性特性，可以说都是非线性系统。例如，在一些常见的测量装置中，当输入信号在零值附近的某一小范围之内时，没有输出，只有当输入信号大于此范围时，才有输出，即输入输出特性中总有一个不灵敏区（也称死区），放大元件的输入信号在一定范围内时，输入输出呈线性关系，当输入信号超过一定范围时，放大元件就会出现饱和现象，各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，其输入输出特性为间隙特性，有时为了改善系统的性能或者简化系统的结构，还常常在系统中引入非线性部件或者更复杂的非线性控制器。通常，在自动控制系统中，最简单和最普遍的就是继电特性。

以上情况说明，非线性特性在实际中是普遍存在的，只要系统中包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，就称其为非线性系统。所以，严格地说，实际的的控制系统都是非线性系统。所谓线性系统仅仅是实际系统忽略了非线性因素后的理想模型。当实际系统的非线性程度不严重时，在某一范围内或某些条件下可以近似地视为线性系统，这时采用线性方法去进行研究具有实际意义，分析的结果符合实际系统的情况。但是，如果实际系统的非线性程度比较严重，则不能采用线性方法去进行研究，否则会产生较大的误差，甚至会导致错误的结论，故有必要对非线性系统作专门的研究。

常见非线性特性对系统运动的影响从非线性环节的输入与输出之间存在的函数关系划分，非线性特性可分为单值函数与多值函数两类。例如死区特性、饱和特性及理想继电特性属于输入与输出间为单值函数关系的非线性特性。间隙特性和一般继电特性则属于输入与输出之间为多值函数关系的非线性特性。

在实际控制系统中，最常见的非线性特性有死区特性、饱和特性、间隙特性和继电特性等。在多数情况下，这些非线性特性都会对系统正常工作带来不利影响。下面从物理概念上对包含这些非线性特性的系统进行一些分析，有时为了说明问题，仍运用线性系统的某些概念和方法。虽然分析不够严谨，但便于了解，而且所得出的一些概念和结论对于从事实际系统的调试工作是具有参考价值的。

对于线性无静差系统，系统进入稳态时，稳态误差为零。若控制器中包含有死区特性，则系统进入稳态时，稳态误差可能为死区范围内的某一值，因此死区对系统最直接的影响是造成稳态误差。当输入信号是斜坡函数时，死区的存在会造成系统输出量在时间上的滞后，从而降低了系统的跟踪速度。摩擦死区特性可能造成运动系统的低速不均匀；另一方面，死区的存在会造成系统等效开环增益的下降，减弱过渡过程的振荡性，从而可提高系统的稳定性。死区也能滤除在输入端作小幅度振荡的干扰信号，提高系统的抗干扰能力。

测量元件 放大元件 执行元件在非线性系统中，K1、K2、K3分别为测量元件、放大元件和执行元件的传递系数，Δ1、Δ2、Δ3分别为它们的死区。若把放大元件和执行元件的死区折算到测量元件的位置（此时放大元件和执行元件无死区），则有下式成立：

（1）显而易见，处于系统前向通路最前面的测量元件，其死区所造成的影响最大，而放大元件和执行元件死区的不良影响可以通过提高该元件前级的传递系数来减小。

（2）饱和 饱和特性。饱和特性将使系统在大信号作用之下的等效增益降低，一般地讲，等效增益降低，会使系统超调量下降，振荡性减弱，稳态误差增大。处于深度饱和的控制器对误差信号的变化失去反应，从而使系统丧失闭环控制作用。在一些系统中经常利用饱和特性作信号限幅，限制某些物理参量，保证系统安全合理地工作。

若线性系统为振荡发散，当加入饱和限制后，系统就会出现自持振荡的现象。这是因为随着输出量幅值的增加，系统的等效增益在下降，系统的运动有收敛的趋势；而当输出量幅值减小时，等效增益增加，系统的运动有发散的趋势，故系统最终应维持等幅振荡，出现自持振荡现象。

（3）间隙 又称回环，间隙特性。在齿轮传动中，由于间隙存在，当主动齿轮方向改变时，从动轮保持原位不动，直到间隙消失后才改变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环特性。间隙特性对系统性能的影响：一是增大了系统的稳态误差，降低了控制精度，这相当于死区的影响；二是因为间隙特性使系统频率响应的相角迟后增大，从而使系统过渡过程的振荡加剧，甚至使系统变为不稳定。

（4）继电特性 继电特性，其特性中包含了死区、回环及饱和特性。当h=0时，称为理想继电特性。

理想继电特性串入系统，在小偏差时开环增益大，系统的运动一般呈发散性质；而在大偏差时开环增益很小，系统具有收敛性质。故理想继电控制系统最终多半处于自持振荡工作状态。

继电特性能够使被控制的执行装置在最大输入信号下工作，可以充分发挥其调节能力，故有可能利用继电特性实现快速跟踪。

至于带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，而对其它动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果。2

以上只是对系统前向通道中包含某个典型非线性特性的情况进行了直观的讨论，所得结论为一般情况下的定性结论，这些结论对于从事实际系统的调试工作是具有参考价值的。

非线性附加控制的基本原理由于直流输电系统的基本控制方式仅适用于小扰动和正常运行情况，所以有必要利用附加控制来提高交直流系统在大扰动情况下的暂态稳定性。同时，在系统运行工况经常变化的情况下，现有的线性化控制策略不能进行合理的调节。而利用非线性控制理论，通过恰当的坐标变换和非线性反馈，可以使非线性系统在整个状态空间或状态空间的一个足够大的域中精确线性化。

这样就克服了基于线性化方法所设计的控制器的弊端。应用这一理论设计的非线性附加控制器仅采用本地状态量或输出量作为反馈量，其中的一些反馈量可以直接或间接地反映整个系统的运行状态，从而只需局部信息就构成调节性能良好的局部控制器，实现起来也较为容易。

如图所示，在整流侧传统定直流电流控制器(如图虚线框图所示)的基础上增加了非线性附加控制器。它们共同的控制目标就是使实际直流电流与设定值的偏差为最小值。其中附加控制量充分反映了当地状态量和输出量的变化，从而反映了整个系统运行状态的变化。3

同样，逆变侧附加非线性控制器的控制目标是使逆变侧实际交流电压与设定值的偏差最小。从而，两侧控制器协调一致，在小干扰和大干扰情况下充分发挥了直流换流器的快速调节对改善交直流输电系统运行性能，提高系统稳定性的作用。

分析方法对于非线性系统，建立数学模型的问题要比线性系统困难得多，至于解非线性微分方程，用其解来分析非线性系统的性能，就更加困难了。这是因为除了极特殊的情况外，多数非线性微分方程无法直接求得解析解。所以到目前为止，还没有一个成熟、通用的方法可以用来分析和设计各种不同的非线性系统，目前研究非线性系统常用的工程近似方法有：

相平面法相平面法是时域分析法在非线性系统中的推广应用，通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解，所得结果比较精确和全面。但对于高于二阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结构，从而大大增加了工程使用的难度。故相平面法仅适用于一、二阶非线性系统的分析。

描述函数法描述函数法是一种频域的分析方法，它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广应用，其实质是应用谐波线性化的方法，将非线性元件的特性线性化，然后用频率法的一些结论来研究非线性系统。这种方法不受系统阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。

计算机求解法用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于分析和设计复杂的非线性系统，几乎是唯一有效的方法。随着计算机的广泛应用，这种方法定会有更大的发展。

应当指出，这些方法主要是解决非线性系统的“分析”问题，而且是以稳定性问题为中心展开的，非线性系统“综合”方法的研究远不如稳定性问题的成果，可以说到目前为止还没有一种简单而实用的综合方法，可以用来设计任意的非线性控制系统。4