[科普中国]-不确定非线性系统

背景

在长期的工程实践中，人们逐渐认识到在系统设计时要得到与实际系统一致的精确数学模型几乎是不可能的。几乎所有的实际系统都存在不同的不确定性和非线性。例如控制系统的模型误差、未知的系统参数、未建模特性以及量测误差和外部干扰等。因此，控制系统的设计必须考虑这样的问题，即在含有未知不确定的情况下，控制器是否能使受控系统稳定并能满足所期望的性能指标。1

控制器的设计一般基于物理系统的标称模型，标称模型虽然可以通过机理直接推导或数学模型辨识理论得到，但当系统存在不确定性时，根据标称模型的控制系统设计通常无法达到预期目的。带有不确定参数、不确定动力学(系统摄动)及外干扰的非线性系统称之为不确定非线性控制系统。

几乎所有的实际系统都存在不同的不确定性和非线性，因此研究不确定性的非线性系统的控制问题一直是控制领域中的热点问题。目前，对于非线性系统的研究大多基于参数不确定性的非线性系统，而对具有非参数不确定性的系统，研究的比较少。因此研究具有不确定性的非线性系统的控制，无论在理论上还是在实际应用上，都是非常有意义的研究课题。

定义不确定非线性系统（Uncertain nonlinear systems）指同时具有不确定系统和非线性系统特点的系统，即其输出不与其输入成正比，同时带有不确定参数、不确定动力学(系统摄动)及外干扰的系统。

非线性系统一个系统,如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。从数学上看，非线性系统的特征是叠加原理不再成立。叠加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解。

叠加原理可以通过两种方式失效。

其一，方程本身是非线性的。

其二,方程本身虽然是线性的,但边界是未知的或运动的。

分类非本质非线性:能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。

本质非线性:用小偏差线性化方法不能解决的非线性。

描述方法一般描述系统不确定性的方法包括可参数化不确定性和非参数化不确定性两种类型模型。可参数化不确定模型又称参数不确定性，通常指被控对象模型的参数摄动。参数不确定性一般不改变模型的结构，仅仅存在着参数的变化。通常参数的变化范围已知，变化的规律未知。在实际工程系统中，很多参数都可通过参数的摄动来描述，例如摩擦系数、转动惯量等，量测误差或老化等原因引起的变化等。除此之外，系统的不确定性的影响还可以用未知的摄动函数或未知的动态方程来表示，它被称为非参数不确定性。这种不确定性的特点是结构未知，或者仅仅已知不确定性变化的界限。在实际控制系统中，总会受到外部环境的影响，因而存在各种参数不确定性和非参数不确定性。

输出调节问题为了扩大所能解决输出调节问题的非线性系统的类别，介绍几类在外系统(即有线性又有非线性)作用下的不确定非线性系统的镇定和输出调节问题。概括如下：

特例作为输出调节问题的特例，基于状态反馈、输出反馈的不确定非线性系统的镇定问题，首先针对具有奇次幂的低三角形式的不确定系统，提出基于加幂积分器的有限时间稳定分析方法，构造出的非Lipschitz连续状态反馈控制器，确保了高阶系统的有限时间收敛的可行性，使结果得以推广。然后针对部分状态不可获得的一类纯反馈的非线性系统，利用滤波解决了一般控制器中遇到的代数循环问题，通过构造广义的高增益模糊观测器，使得观测器的增益为指派的成为可能，构造出自适应模糊控制律，并将其推广到一大类非线性系统。最后考虑状态中具有时滞的不确定上三角系统，提出了具有时滞的齐次系统的相关概念，建立了延拓的齐次占优法，保证了利用未知非线性的信息的构造控制器的可行性，并将此类系统推广到一般的具有时滞的非线性系统。这些是对非线性不确定系统的稳定性分析方法的有效补充。

具有未知函数和外界扰动针对由线性中性稳定的外系统驱动的一类具有未知函数和外界扰动的非线性系统，针对不确定性不能为光滑函数界定的情况，研究了基于状态反馈的输出调节问题。基于非线性输出调节问题的可解的必要条件，将系统的输出调节问题转化为系统镇定问题。利用系统浸入法提出了具有误差的线性内模。并针对Backstepping技术存在的“计算膨胀”问题和虚拟控制要求为光滑信号的限制，基于动态面法和非光滑分析理论设计出了光滑的和非光滑的状态反馈控制器。上述研究结果扩大了所能解决的非线性输出调节问题的研究范围，为此类非线性系统的控制设计提供了新的手段。

未建模动态、动态不确定性且状态不可测量针对由非线性外部系统驱动的一类具有未建模动态、动态不确定性且状态不可测量的不确定非线性系统，研究了基于输出反馈的输出调节问题。首先通过外系统信息，提出了新的的非线性内模，利用动态信号去处理不匹配的动态，给出了高增益的模糊自适应观测器，基于B ackstepping设计方法和模糊逻辑系统设计出了模糊自适应律和输出反馈控制律。通常情况下外部干扰信号都是由线性中性稳定的外系统生成，而上述研究成果从干扰信号为非线性外系统生成的角度出发，使非线性输出调节的研究范围得到扩大。并将上述结果应用到第七章，解决了一类具有外系统的四悬翼飞行器的跟踪和干扰抑制问题。结合自适应B ackstepping控制方法提出了一类基于模糊控制的自适应姿态跟踪和干扰抑制控制器。通过仿真验证了自适应模糊控制律在控制性能方面的优越性。

时滞非线性不确定系统针对一类由线性外系统驱动的时滞非线性不确定系统，研究了基于输出反馈的非线性系统的输出调节。通过Lyapunov-Krasovskii泛函构造出Lyapunov函数，提出了不依赖于时滞的自适应模糊观测器和输出反馈控制律，避免了控制器和观测器出现时滞的情况，推导出闭环系统最终一致有界的必要条件。继续扩大了所研究的非线性输出调节问题的研究类别，进而使得与状态观测器、智能控制的之间的结合更密切。

状态及输出反馈控制在实际的非线性控制系统中，常常存在很多不确定性，它们对控制系统的稳定性产生很大影响，易造成系统性能下降，甚至导致系统不稳定。因而在过去的二十多年中，系统中的未建模动态己受到国内外学者的广泛关注，在利用后推设计和动态面控制方法的基础上对其进行了不同的讨论。2

通常，对未建模动态的处理有三种方法。姜等在中将未建模动态假设为指数输入状态实用稳定，利用其己知的Lyapunov函数的指数衰减率，引入一个可量测辅助动态信号来处理未建模动态，并基于后推设计，对一类具有未知参数、不确定非线性和未建模动态三种不确定性的非线性系统，提出一种自适应控制方案。之后假设未建模动态在外输入为零的情7R下全局指数稳定，直接使用Lyapunov函数描述来约束未建模动态，对一类具有未建模动态的非线性系统，提出一种自适应后推控制策略。第3种方法是假设未建模动态为输入状态稳定的，利用Sontag等提出的变能量函数方法来处理未建模动态。对一类带有状态未建模动态的非线性系统，利用输入状态稳定的性质，结合小增益方法和后推设计，提出了一种鲁棒自适应控制方案。

对一类具有状态未建模动态和未知增益符号的非线性系统，提出了一种自适应跟踪控制方案。对一类具有未建模动态的严格反馈非线性系统，利用[28]中方法处理未建模动态，利用神经网络逼近未知连续函数，基于动态面控制，提出一种自适应神经网络控制方案。对一类具有未建模动态的纯反馈非线性系统，分别利用对未建模动态的刻画，提出了不同的自适应动态面控制方案。利用后推设计和对未建模动态的描述方法，提出了一种自适应模糊控制设计方案。将未建模动态假设为输入状态稳定，利用变能量函数来处理未建模动态，并结合后推和小增益定理提出自适应模糊输出反馈控制方案。考虑了时滞非线性大系统的输出反馈稳定问题，其中未建模动态子系统含有多个系统输出。将祸合的多个输出信号看作未建模动态子系统的输入，假设子系统在多输入下是输入状态稳定的，利用变能量函数来处理未建模动态。非线性系统中未建模动态的处理方法相对较为成熟，但在推广到输出反馈非线性系统的动态面控制时会遇到一些困难。

当系统状态不可量测或部分不可量测时，需要利用系统的输出信息或部分状态信息构造观测器估计不可量测状态。若控制增益已知，则可以通过构造全维观测器或降阶观测器来实现状态的估计。当系统控制增益未知时，如果仍采用传统的方法设计观测器，这些未知量将不可避免地出现在观测器中，导致观测器不可实现。针对控制增益未知的情况，Krstic等在首次提出K-滤波器的设计方法。K-滤波器采用分块设计思想，将传统观测器从结构上进行分解，从而将未知量从观测器中分离出来，这样不但解决了滤波器可实现问题，并且能够保证系统状态估计误差的导数是指数衰减形式。对一类具有未建模动态的非线性藕合大系统，利用动态面控制方法，提出一种自适应模糊输出反馈控制方案，但该方案需要控制增益己知。对一类高频增益符号未知的非线性大系统，利用K-滤波器、辅助动态信号和Nussbaum增益函数，基于后推设计，提出一种分散模糊自适应输出反馈控制。使用后推设计和Nussb函数提出全局稳定自适应输出反馈跟踪控制。对状态不可测且高频增益符号未知的不确定非线性系统提出了动态面控制方案。对一类具有未知死区和未建模动态的非线性大系统，通过构造适当的模糊观测器，基于小增益定理和后推设计提出一种自适应输出反馈控制策略，但死区输入被假设是有界的。对不确定非线性系统设计了统一的自适应模糊观测器。利用MT-滤波器，引入调节函数设计参数自适应律，提出了一种自适应输出反馈控制方案。

只考虑了系统高频增益未知的情况，若系统中还有其它一些未知量，比如神经网络估计的权值未知，K-滤波器的具体形式需做相应的变化。当系统只是部分状态不可量测时，可以采用MT-滤波器，或进一步考虑设计降阶K-滤波器。

输入未建模动态在研究实际工业控制系统时，由于执行器模型中可能存在建模误差，执行器端可能存在等效未知扰动，因而需要考虑出现在控制输入侧的未建模动态。研究中，输入未建模动态通常分为线性和非线性两种形式。

通过实例分析了由线性输入未建模动态引起的不稳定性，指出即使是最简单的具有稳定形式的线性输入未建模动态也会导致系统的吸引域变得很小，甚至达到令人不能容忍的程度;或者会出现有限逸时，造成系统不稳定。采用动态阻尼设计方法针对含有线性输入未建模动态的严格反馈和输出反馈系统研究了全局渐近稳定问题，也由此引起了学者们对具有输入未建模动态的非线性系统的研究兴趣。但是，我们知道，与对状态未建模动态的处理相比较，对输入未建模动态的处理难度要大得多。使用非线性小增益定理得到了相似的结果。要求线性的输入未建模部分为具有零相对阶的最小相位系统，得到了进一步的结果。对于线性的未建模子系统要求是最小相位系统，对于非线性的未建模动态系统，要求零动态是输入状态稳定的，而无需满足小增益的条件。通过引入正则化信号抑制了输入未建模动态的影响，并在此基础上设计了后推控制律，但系统高频增益假设为己知。未建模动态满足小增益条件，利用小增益定理并结合适当的坐标变换将输入未建模子系统转化为状态未建模动态进行处理，不要求输入未建模动态具有零相对阶和最小相位。考虑了一类具有输入未建模动态的不确定非线性系统的全局鲁棒镇定问题，通过设计由线性高增益观测器和线性高增益控制器组成的动态补偿器，提出一种输出反馈自适应控制策略。在输入未建模动态的线性化模型满足局部小增益的条件下，对一类具有输入未建模动态的严格反馈系统设计了嵌套饱和控制器。采用后推技术，分别利用K-滤波器和MT滤波器对含有输入未建模动态藕合线性系统和非线性系统提出了分散自适应输出反馈控制方案。

发展和完善关于不确定非线性系统的研究得到了一些有益的研究结果，然而由于非线性系统是复杂多样性，关于非线性输出调节问题的控制理论和设计方法具有一定的针对性，如何在其它类型的非线性系统中设计内模和非线性反馈控制律并解决输出调节问题，在理论和应用中还需要进一步的完善。为此，还有许多工作需要进行深入研究:

(1)现有的关于非线性输出调节问题都是低阶系统的，对于高阶系统的全局镇定、实用跟踪和干扰衰减问题都得到了很好的解决，而高阶系统的输出调节问题是公开的难点问题，主要原因在于调节器方程无解。因此，可以对高阶系统的实用输出调节的问题进行进一步的研究。

(2)大多数非线性输出调节问题都是关于单输入单输出系统的，对于多输入多输出的非线性不确定系统以及非线性不确定大系统的输出调节问题，如何设计内模和镇定相应的闭环系统需要进一步研究。