[科普中国]-离散图像

按图像的点空间位置和灰度大小变化的方式，图像可分为连续图像和离散图像两类。

所谓连续图像是指在二维坐标系中具有连续变化的空间位置和灰度值的图像。连续图像一般为光强度(或亮度)对空间坐标的函数。在用计算机对其处理之前，必须用图像传感器将光信号转换成表示亮度的电信号，再通过模数转换器(A/D)量化成离散信号以便于数字计算机进行各种处理。从位置上看，图像中的所有元素都在一个平面内，像元在二维方向上连续分布；从原稿某一点位置的亮度来看，其取值也是连续分布的，即像元的亮度是像元位置的函数。其典型代表是由光学透镜系统所获取的图像，如彩色照片、航摄相片等，用眼睛观测连续图像时无不自然感觉。

离散图像是以一定网格为周期，把X，Y坐标轴划分为棋盘式的网格，仅取离散的各个交点位置上的灰度值，构成的图像称为离散图像，也称采样图像。印刷图像其实就是离散图像，电脑图像和扫描图像都是离散图像。

离散图像在空间位置上是被分割成一个个的点，在灰度值的大小上也分为不同级数的图像。

数字图像就是离散图像，数字图像是一组有序排列的数据集合，需要用图像数字化设备获得。图像的数字化包含两个方面的内容：空间位置的离散和数字化以及亮度的离散和数字化。可以认为，空间位置的离散为抽样，而亮度的数字化则是量化。1

图像一般是以连续形式出现的，我们常常采用连续图像的离散表达形式进行分析处理，所以许多数字图像处理步骤要求我们在处理这些离散数据时要时刻考虑到采样和插值的问题。然而，有一些应用却允许我们将数字图像看作原本就是离散的。离散图像的变换有离散傅立叶变换(DFT)，Walsh变换、离散K—L变换、Hadamard变换等。下面以离散傅立叶变换(DFT)，Walsh变换、离散K—L变换和Hadamard变换为例进行详细解释。

连续傅立叶变换不适用于计算机的处理，而离散傅立叶变换由于其输入和输出都是离散值，故方便计算机的计算，且可以用快速傅立叶变换进行计算，以提高计算速度。

（1）一维离散傅立叶变换

设 为一维信号 的N个采样，由式(1)和式(2)可知，则可将离散傅立叶变换对定义为

式中， 。式(2)中的系数 也可以放在式(1)中，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以 ，这是无关紧要的，只要正变换和逆变换前系数乘积等于 即可。

　　根据式(1)，一维DFF可以表达为如下的矩阵形式：

式中， ，称为旋转因子， 表示 的 次方。常用一维DFT的核矩阵 是对称矩阵，设 为一维信号矩阵，可将上式所示的一维离散傅立叶变换(DFT)用矩阵的形式表示为 。

同样，很容易将一维离散傅立叶变换推广N--维情况。二维离散傅立叶变换对定义为

式中：x、u=0,1,2，...，M-1，y、v=0，1,2，...，N-1。与一维离散傅立叶变换类似，系数 可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数 ，只要两式系数的乘积等于 即可。

同样，二维傅立叶变换也可以写成矩阵形式：

其中， 为傅立叶变换核矩阵， 为二维信号矩阵。2

离散傅立叶变换和离散余弦变换虽然都有快速算法，但它们都用到了复数乘法，使得计算机在运算时将实、虚部分开运算，所以速度仍比较慢。基于以上原因，许多学者设法找到另一种运算简单的正交变换，即计算简单、矩阵产生方便且正交完备。Walsh变换就是其中一种，它的主要优点在于矩阵产生容易，需要的存储空间小，运算速度快，特别是在大量数据需要实时处理时，Walsh函数就更加显示出它的优越性了。

对于一个 的离散序列，一维离散Walsh变换可用式(1)和式(2)表示：

　　形成Walsh变换对： 。

其中，离散Walsh变换核

离散Walsh反变换核

是2的二进制表达中的第k位，例如，n=3时，则对 ，有 。

二维离散Walsh变换可以写成

形成Walsh变换对，记作 。

K-L变换是由Karhunen和Loeve两人对连续随机过程作为级数展开而引出的。随机图像序列是由Hotelling首先研究出的一种主分量方法，实际上它是K—L级数展开的离散等效方法。因此这种方法有很多称谓，如K-L变换、Hotelling变换、特征向量变换、主分量变换等。这种变换不像上述的各种变换，那些变换的变换核是固定不变的，而K—L变换则随各种图像的统计性质不同而有不同的变换核矩阵，即变换核矩阵是由某批图像的统计性质来确定的。例如遥感多光谱图像对同一地区有多幅光谱图像，每一幅图像是在特定光谱波长拍摄的，这样就可进行统计；又如一幅图像通过卫星传送了N次，由于电波传播的影响，N幅图像互有差异，这样也可进行统计。

Hadamard变换是一种独特有趣的变换．其变换核是一个所有元素为+1或-1的Hadamard矩阵，这显然意味着Hadamard变换不需要乘法运算。Hadamard矩阵具有许多有趣的性质，下面我们给出Hadamard矩阵的基础理论， 然后继续给出变换的定义。

定义：边长 的Hadamard矩阵 是一个N×N的矩阵，其元素都是±1并具有如下性质： 。

因此Hadamard矩阵是正交的，这是一个图像变换中期望的性质，Hadamard的正交特性带来了以下的结果。

（1）元素为 的N X N矩阵是Hadamard阵的充分必要条件是： 。

（2）令K和L分别为边长为N和R的Hadamard矩阵，则 ⊗也是一个Hadamard矩阵。

（3）边长N的矩阵是Hadamard阵，则N是1,2或4的倍数。

（4）H是一个Hadamard阵，如果矩阵K是通过下列方法之一从H中获得，则K也是一个Hadamard阵。

(a)对部分或所有行取反；

(b)对部分或所有列取反；

(c)对行或列变换次序。3

也许最简单的卷积应用是用离散卷积处理图像。图像运算程序中，得到最广泛应用的是简单的卷积滤波器。通过与一般低通滤波器(从盒式滤波器到高斯滤波器)进行卷积，实现对图像的模糊化处理，如右图所示。高斯滤波的结果看起来很平滑，所以经常用它进行模糊化处理。

与图像模糊化相对的运算是图像锐化。实现锐化的一种方式是采用“模糊掩模”：从原始图像中减去一幅模糊化图像的一部分 。重新调整尺度，以免图像的整体亮度发生改变。于是有：

其中 是宽度为 的高斯滤波器。利用离散脉冲趿卷积的分配律，可以把整个过程表示为含模糊宽度及锐化程度两个参数的单一滤波器。

另一个结合使用两离散滤波器的实例是阴影。通常利用模糊的、移位的目标轮廓来构造柔和的阴影。可以将移位运算表示为与偏离中心的一个脉冲的卷积：

通过与两种滤波器的卷积运算，就实现了移位及模糊化：

上式中利用了结合律，将两次运算合成，变成含三个参数的一个滤波器。4