[科普中国]-随机分析模型

从实际问题抽象出一个物理模型或者说给实际问题建立一个物理模型，是许多实际问题分析建模工作中的关键内容1。依随机规律是否随时间的变化而变化，随机分析模型可分为静态和动态两类，前者只涉及到随机变量（向量）的概率分布及其数字特征，后者则要处理随机过程和随机微分方程。

随机模型是试验的各处理皆是随机抽自 的一组随机样本，因而处理效应τ是随机的，随试验的不同而不同。若重复做试验，必然是从总体 中随机抽取一组新的样本。其分析的目的不在于研究处理效应，而是在于研究τ的变异度，故推断也不是关于某些供试处理，而是关于抽出这些处理的整个总体。

鞅论分为离散鞅和连续鞅，是由美国数学家杜布建立的一套数学理论，其中包括的基本概念和重要定理有：上鞅、下鞅、停时定理、鞅收敛定理、鞅不等式、鞅差列的强大数律、鞅的中心极限定理等。数学上，鞅论可以应用在调和函数与下调和函数研究方面，是随机过程与数理统计研究的有力工具。本质上，鞅是一个过程，这个过程可以理解为一个进行公平赌博的赌徒的财富（变化）情况，广泛应用于金融、医学以及保险等行业的实际问题中。

定义

如果随机过程 满足以下两个条件：

1. 对于 的任何n， ；

2.

则称随机过程为鞅。在鞅理论中，关键问题就是找到鞅测度或者等价鞅测度2，找到鞅测度或者等价鞅测度也就找到了行业应用中我们想要得到的结果。

停时定理（可选抽样定理）

鞅停时定理的意义在于，在公平的赌博中，你不可能赢。在一个公平的博弈中，若局中人在每次赌局结束时的赌本与他开始时的赌本一样，但他未必一直赌下去，他可以选择任一时刻停止赌博，这一时刻是随机的，如果要他在停止时旳赌本和他开始时的赌本相同，需要附加条件，这些条件一旦满足就是鞅停时定理。而停时概念就蕴含其中：事件应该由某时刻以及之前的信息完全确定，而不需要也无法借助将来的情况，且一场博弈不会无限期地延续下去，停止一个事件是随时的。并且停止一个事件是以巳发生的事件结果为依据的。停时定理可用于确定股票期权值的界。3

鞅收敛定理

鞅收敛定理说明：在很一般的条件下，鞅会收敛到一个随机变量。这个结果很有用，例如，假设我们对某一事件发生的概率P感兴趣，而对P又一无所知，那么我们就根据鞅收敛定理，可以假定P是(0, 1)上的均匀分布，帮助随机过程的推导。

泊松过程是时间间隔为独立且同时服从指数分布的随机变量。由于该随机变量概率分布的不同，决定着随机过程的不同。分布为任意分布是得到的过程为计数过程，也称为更新过程。泊松过程是一种特殊的更新过程。

定义 是独立服从 的随机变量序列，令 ，则计数过程 为时间间隔服从Gamma分布的更新过程，称之为Gamma更新过程，其特殊情况为泊松过程。

如果 是Gamma更新过程，则 ，n=0, 1, 2, ...，当a为正整数时， ，n=0, 1, 2, ...。特别地，当a=1时， ，n=0, 1, 2, ...，此时为泊松过程。由于更新过程的强度为 ，故此更新过程强度为 ，其中 。所以对于泊松过程，时间间隔 的分布为： ，其密度函数为： 。2

Possion过程常见的例子有：

排队论：计算到达的客户数；

一个地区的降雨量；

装机光电探测器的光子数；

自动电话交换机的接入电话数；

长时间内某网络服务器的网页请求；

服务台接到咨询电话的次数。

维纳过程(Wiener Process)是一个重要的独立增量过程，也称作布朗运动过程。

当随机过程 满足下列条件时，我们称随机过程 为布朗运动：

1. 该过程初始值为0，即；

2. 具有固定的连续增量；

3. 在时间t内连续；

4. 增量 服从均值为0，方差为|t-s|的正态分布，即： 。

伊藤过程是日本数学家伊藤发展建立的带有布朗运动干扰项的随机微分方程，可看成为一般化的维纳过程。随机过程 ，如果其微分形式可以表示为： ，其中dz是Wiener过程，则称 为一个伊藤过程。伊藤引理表明，如果随机变量x遵循伊藤过程，设 是x和t的二阶连续可微函数，则 遵循如下过程： 。2

威布尔（Weibull）分布双参数曲线用于拟合风速分布的线型，其概率密度函数可表达为：

式中：v为风速；k和c分别为Weibull分布的形状参数、适度参数，μ为平局风速，σ为标准差。

当知道了风速的分布之后，就可以通过风力发电机组的输出功率与风速之间的近似关系得到输出功率的随机分布。风力发电机出力与风速之间的函数关系如图1所示。其中 为风力发电机额定功率， 为切入风速， 为额定风速， 为切出风速。由图1可以得到风力发电输出功率 与风速v之间的函数关系式：

经统计，大部分时间内风速维持在 和 之间， 与v近似成一次函数关系，因此可求出风力发电有功功率概率密度如下：

风力发电机可简化处理为PQ节点，假定通过风电机组中电容器的自动投切，可使功率因数恒定不变。这样，无功功率为：，式中：φ为功率因数角，对并网风电机而言，φ一般位于第4象限，tanφ为负值。4

太阳能电池是光伏发电系统的基础和核心，它的输出功率与光照强度密切相关，由于光强具有随机性 因此输出功率也是随机的，据统计，在一定时间段内（1h或几h），太阳光照强度可以近似看成贝塔分布(Beta Distribution)，其概率密度函数如下：

式中：r和 分别为这一时间段内的实际光强和最大光强；α，β均为Beta分布的形状参数。

假设给定一太阳能电池仿真，具有M个电池组件，每个组件的面积和光电转换效率分别为，于是这个太阳能电池方阵总的输出功率为，式中：A为方阵总面积η为方阵总的光电转换效率，它们分别为：

已知光强的概率密度函数，可以得到太阳能电池方阵输出功率的概率密度函数也呈Beta分布：

式中：为方阵最大输出功率。与风力发电类似，光伏发电系统也由电容器组来保证功率因数基本为一常数，因此在潮流计算中可看做PQ节点，其随机分布也呈Beta分布。4

多数有关随机潮流的文献均将负荷预测结果看做一个随机变量，并采用正态分布近似反映负荷的不确定性。假设负荷实部和虚部参数分别是 和 ，其实部和虚部的概率密度函数分别为：

式中：μ为数学期望， 为方差。4

金融、医学、保险等行业具有较高的复杂性和多样性，给的行业实际问题的分析研究带来很大麻烦，随机分析模型正是用于这些复杂性问题的分析，给行业实际问题研究带来巨大帮助。