[科普中国]-奇异H∞控制

基本概念奇异系统

奇异系统(singular systems)是一类由微分及代数方程综合描述的系统，它在结构形式上比仅由纯微分方程或差分方程描述的正则系统多了代数方程描述部分。由于研究领域的不同，奇异系统又被不同领域的学者冠以不同的称呼，例如广义状态空间系统、描述系统等等。由于奇异系统描述比正常系统多了代数方程描述部分(快变子系统)，因此，奇异系统的适用度比正常系统要广泛得多。通过系统适当地变换，奇异系统也可以描述成正则系统，但是，许多原有系统的物理特性在变换后有可能会丢失。

最早的奇异系统模型是由学者Ardema在1962年通过研究航天器的动力模型过程中提出的。后来，Rosenbrock在研究复杂的电网系统时，发现电网中某些部件突然失效，在失效的前后时刻有电流的瞬动现象产生，这种瞬间变化的现象不包括在常见正则系统描述之中，在经过大量的研究及实验后，建立了电网系统的奇异模型。自此以后，广大研究爱好者对奇异系统展开了广泛地研究，并且获得了许多非常有价值的理论成果。由于奇异系统适合于描述规模较大且非常复杂的系统，因此，自上世纪八十年代开始奇异系统被非常广泛地用于奇异摄动系统、电子网络系统、决策系统、复杂大规模系统等各个领域。随着广大学者研究的不断发展和深入，许多可以由奇异系统描述的实际系统不断被发现。例如，受限机器人、纽曼模型、Leontief模型、非因果系统、核反应堆等均是典型的奇异系统。

目前，虽然大量的学者在奇异系统相关理论中取得了许多的理论研究成果，但是仍旧有不少的奇异系统理论分析与实际应用上的问题需要研究及解决。例如目前仍然没有获得时变奇异系统显式解等，同时，仍有许多研究成果令人不太满意，如时变时滞系统的稳定与镇定等。

H∞控制LQG最优控制理论在七十年代取得很大进展，其在航空航天方面取得的成就使之成为现代控制理论的代表。然而在实际工业生产中LQG理论并未达到其在航空航天方面的效果，其主要原因在于：

i)LQG理论要求模型能准确描述被控系统；

ii)LQG理论假设系统外部扰动为白噪声。

这在实践中是不可能的。此表明LQG最优控制就不确定系统鲁棒问题而言不是有效方法。

在LQG理论形成之前，经典控制理论对单变量系统采用频域方法处理鲁棒性问题取得一定成果，但对多变量系统却没有统一处理方法。因此研究既具有经典控制理论鲁棒问题处理能力同时又具有LQG多变量问题处理能力的方法，在七十年代末受到控制界人士广泛注意。

Zames(1981)对单变量系统扰动抑制问题提出一种处理方法。外部扰动不再假设为白噪声随机过程，而是假设为范数有界的确定变量。其最优扰动抑制问题叙述为：对所有范数在某一定界限的扰动，系统都能将其抑制到最小。数学上可采用H∞空间来处理，故而这种方法称为H∞最优控制。

克服了数学上一些困难后，这种思想就可推广到多变量系统(Zames and Francis 1983)。随后鲁棒稳定问题亦采用这种思想：对所有范数在某一定界限的摄动，系统仍能保持稳定。这种对最坏情形设计控制器的方法，使闭环在任何情况下都不致不稳定，因而在实际生产中有着很大意义。

最近十年来，H∞控制理论得到很大发展。尤其是1989年Doyle等四人发表的文章((Doyle et al.1989)采用状态空间方法求解H∞问题，不仅使H∞理论与LQG理论互为对照，而且提供H∞问题的有效数值解法，极大地促进了H∞理论的发展与应用。有限维线性系统之H∞理论可见评述(谭文，陈亚陵1994)。随后的几年里，H∞控制理论在非线性系统、采样系统等都得到不同程度的进展(Ball et al. 1993, Bamieh and Pearson 1992)。

研究现状1981年Zames首次提出了著名的H∞控制思想。Zames考虑了这样一个单输入单输出的设计间题，即对于属于一个有限能量集的干扰信号，设计一个控制器使闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数的H∞范数可以描述有限能量到输出能量的最大增益，所以表示上述影响的传递函数H∞范数作为目标函数对系统进行优化设计，这就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。

H∞控制理论的研究主流可分为两大阶段。到1984年为止是第一阶段。在此阶段，人们更多的是考虑多变量系统，把在使控制系统内部稳定的控制器集合中寻找一个使传递函数矩阵的H∞范数最小的解的间题。通过稳定化的控制器的Yoular参数化变换成模型匹配或一般距离间题。然后再将其变换为Nehari间题来求解。到1988年为止是第二阶段。在此阶段，人们不采用输入输出传递函数矩阵的描述，而是直接在状态空间上进行设计。此类方法不仅设计过程简单，计算量小，而且所求的控制器的阶次数较低，结果特征明显。这一阶段的标志是1988年Doyle和Glover等在全美控制年会上发表了著名的DGKF论文，文中给出了标准H2和H∞间题的状态空间解法.证明了H∞控制间题的解可以通过求解两个适当的Riccati方程得到。随着常规系统H∞控制间题理论的完善，奇异系统H∞控制理论也得到了发展。Morihira和Takaba分别于1993和1994年用J谱分解法解奇异H∞控制问题，Wen和Yaling用广义特征值来解奇异H∞控制间题。这两种方法都是在满足一定的假设条件下，用广义黎卡提方程给出控制器的解。1997年，Masubuchi等人提出了用两个广义黎卡提不等式来解决H∞控制间题，才从本质上克服了以上两种假设条件所带来的限制。国内有学者将奇异系统状态反馈H∞控制问题等价于一个常规系统状态反馈H∞控制问题，并用LMI方法给出了控制器的存在条件及解。目前，理论研究主要集中在进一步寻找行之有效的解法，使控制系统设计更加精确，更加实用，更加符合实际的需要。1

奇异系统H∞优化问题奇异系统同样要考虑其鲁棒性能。针对奇异系统的H∞性能优化问题，主要有三种方法:频域方法，时域方法和微分对策方法。在频域方面最早开展工作的是Oloomi和Luse等人。Oloomi解决了双频标(two-frequency-scale,TFS)系统的Nevanlinna-Pick插值问题，故而提供了另一种解决奇异摄动系统H∞优化问题的方法。同时，他还提出一种不仅适合最小相位系统，还适用于非最小相位系统的凡优化算法。与时域方法比较，频域方法相对更直观，而且可以得到一些较宽松的结论，但主要缺点是难以推广至非线性奇异摄动系统。

在时域方面，Shahruz较早研究了线性奇异系统的H∞控制问题。该文指出，一个线性奇异系统的H∞控制问题可以分解为一个快子系统和另一个与慢子系统同阶的子系统的凡问题。Fridman采用严格分解方法求得一种较高精度的H∞次优控制器。Mukaidani等采用递归算法求解广义代数黎卡提方程，得到了形式上更为简单的高精度控制器，且该方法同样适用于非标准系统。Tan等则直接从广义系统的角度出发，通过分解黎卡提方程，得出了与奇异参数无关的H∞次优控制器存在的条件，且输出反馈控制器同样具有奇异形式，其快、慢子部分分别是对应的快、慢子系统的H∞次优控制器。由于采用了广义系统方法，该结论同样适用于非标准奇异系统。

H∞控制问题与一类线性二次微分对策问题有着非常密切的联系，这为研究者提供了新的思路。由于通过早期的方法来处理由状态、干扰和控制在慢子系统性能指标中构成的交叉项问题时存在比较大的困难，所以该问题一般是被忽略的。但是，微分对策方法具有数学上的直观性与简洁性，因此，它可以很容易地解决这个问题。Tong等首先提出用微分对策方法来研究奇异系统的坑控制问题。Dragan研究了对策黎卡提方程的渐近展开性质，并指出它们可以被用于奇异系统的凡控制。在此基础上，他通过引入广义Popov-Yakubovich理论，结合渐近展开方法较为深入地研究了奇异系统的传递函数矩阵的H∞范数对于奇异参数的依赖性。 Pan0等利用微分对策方法系统地研究了标准奇异系统H∞最优控制问题，并指出利用微分对策，可以很方便地统一考虑不同信息模式、有限/无限时域问题。在此基础上，Xu等利用广义系统方法将其推广到非标准情形。Shi等进一步讨论了具有参数不确定的系统鲁棒控制，由于没有采用常规的标准分解降阶方法，而主要是利用有界实性质来确保了镇定反馈控制器的存在性，所以不需要考虑过多前提假设，条件得到进一步放宽。Singh等在对策论框架下，利用Delta算子，给出了可统一处理连续与离散奇异系统的控制器设计方法。2