[科普中国]-最优化估计模型

最优化估计模型

在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。而求解最优化问题建立的模型被称为最优化模型。它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。

最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。

变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。

最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们1。

参数估计首先粗略估计参数的初始值，然后从初始值出发，通过反复拟合不断搜索较优参数值，直到模型参数取得“认为的”最优值为止。该过程涉及两个主要概念，一个是参数初始值粗略计算，另外一个是参数最优估计。基准剂量分析在此基础上估计基准剂量值，以及基准剂量下限值。

参数初始值计算在数值分析软件的开发中，一般把参数初始值的计算分为三种情况。第一种情况是模型形式很复杂、不易化简计算，而且没有人为的经验可以借鉴，在这种情况下一般由计算机系统进行随机赋值，或者人为地猜测指定。从这样的初始值出发不断搜索计算，可以预想到时间的漫长以及不确定性，这样的求取参数初始值方法一般不作为软件的主要计算方法，有时作为计算的一种辅助办法在软件设置中供选择使用。第二种情况是模型形式较复杂，里然不能通过化简求解，但是可以借助实验数据进行粗略计算，比如从实验数据中选取最大反应数据，最小反应数据，平均反应值等，将这些值带入剂量——反应模型，通过解方程组或线性回归等数学方法求得计算结果。第三种情况是对一般常用的主要数学模型，其模型形式相对简单，属于线性的，或者可以化简为线性的，比如带有指数的，可以对模型公式取对数转换成线性模型，然后用线性回归方法求解。第三种方法是目前常见的参数初始值计算方法。

参数最优估计参数估计也称为参数推断，是统计学中的一项重要统计推断。参数估计方法分为点估计和区间估计两类，点估计是指由样本观察值计算模型参数的估计值，到今天为止形成很多方法，包括最容易计算的矩估计，最常用最经典的极大似然估计，通过使均方误差最小的最小二乘法，还有1958年由图基提出的适用于有偏样木或存在异常值等情况的“刀切法”以及适用于多数概率分布的稳健估计，假设参数具有先验分布的贝叶斯估计等。区间估计是估计参数的一个可信区间，主要方法有枢轴法、自助法和贝叶斯法等2。

极大似然估计法，其基本思想是如果能找到这样的参数，参数使得出现己有实验样本的概率是最大的，那么就理所当然的认为这样的参数就是最好的，将这些值做为真实值的估计。极大似然估计法由统计学家和遗传学家在1912年最开始使用，如果假设模型正确，使用极大似然估计法推断参数是最优的。使用极大似然估计，首先要定义似然函数，但有时候似然函数存在，有时候不存在，或者可能还不唯一。在基准剂量反应模型巾，适用于二分数据的反应模型般认为是服从二项分布的，适用于连续数据的反应模型是服从正太分布的，有时也可以是对数正太分布，因此，都存在对应的似然函数。

参数估计是由样本推测总体分布的重要方法之一，但是在参数估计和最优化求解相分离的情况下，参数估计就会造成目标函数的实际值偏差理论值，得到低效的结果，需采取有效的修正方法。