[科普中国]-状态变量模型

简介

状态变量模型是一种较完善的系统描述方法，可以描述系统的内部信息。2

状态变量模型用数学模型的形式来表示一个系统的动态特性，包含状态方程和输出方程两部分，前者表示状态变量与输入量之间的关系，后者表示输出量与状态变量以及输入量之间的关系。状态变量模型常表示为如下形式：

状态变量模型把实体系统作为对象，在分析系统的动态特性时，控制论的应用起着极其重要的作用。同时从处理复杂系统来看，它也是重要的模型。3

基础知识状态所谓状态，是指系统的运动状态，可以是物理的或非物理的，如位置、速度、加速度、电压、电流等。

状态变量状态变量是完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。通常用 ， ，......， 加以表示。

“完全描述”指根据 时的初始状态和 时的输入量可以完全确定 任何瞬间的时域行为；“最小个数”意味着这组变量之间是相互独立的。

状态向量如果把n个状态变量 ， ，......， 看成是向量 的分量，则由这n个状态变量所构成的向量 称为状态向量，记为：

状态空间以状态变量 ， ，......， 为坐标轴构成的n维空间，称为状态空间。在某一特定时刻t，状态向量 是状态空间中的一个点。

状态方程在状态空间描述中，状态方程表征的是系统的输入变量和状态变量之间的因果关系，反映了系统输入引起的内部状态的变化，写成矩阵形式如下：

其中

为n维状态向量； 为m维输入向量；

为 维系统矩阵，表征系统内部状态变量之间的关系；

为 维输入矩阵，表征输入与状态变量之间的关系。

输出方程在状态空间描述中，输出方程表征的是系统的输入变量和状态变量同系统的输出变量之间的因果关系，它反映了系统输入与内部状态引起的系统输出的变化，写成矩阵形式如下：

其中，x和u同状态方程中的含义；

为w维输出向量；

为 维输出矩阵，表征系统输出与状态变量之间的关系；

为 为前馈矩阵。4

求解步骤系统的状态变量模型的设立，包括两个基本步骤：

1）确定并求解状态变量

2）根据这些状态变量求输出

这在数量上可用两组方程来表示：一是状态方程，它表示状态变量与输入量的关系；二是输出方程，它表示输出量与状态量和输入量的关系。3

性质根据给定的传递函数，可以写出若干种本质上等价而外表不同的状态变量模型。换言之，它不是唯一的。5