[科普中国]-非线性混沌系统

基本概念非线性系统

所谓非线性系统，指的是系统的状态与输出变量在外部条件的影响下，不能用线性关系来描述的系统。系统受到的这种影响是相对于系统输入的运动特性来说的。由于组成系统的各部件在不同程度上存在非线性的性质，因此在实际生活中，绝对线性的系统是不存在的。为了改善系统的这种非线性性以得到稳定的系统，需要通过设计控制器来研究系统的稳定性，由此产生了相平面法、描述函数法和谐波平衡法等。在过去的几十年里，对于非线性系统的研究，产生的很多新兴的控制理论中，普遍结合了李雅普诺夫稳定性理论，例如以Kokotovic为代表的反推控制理论(Backstepping ) ，以意大利Isidorii教授为代表发展起来的微分几何控制理论，以Swaroop和Hedrick等人为代表基于反推控制理论发展起来的动态面控制设计方法，以Zade和Mamdani教授为代表发展起来的模糊数学和模糊控制理论。迄今为止，李雅普诺夫方法己经成为研究非线性系统最常用也是最为完善的一种方法，通过构造李雅普诺夫泛函、构造系统控制器来研究非线性系统的稳定性也己取得显著成效。

混沌混沌，一般是指确定性系统中出现的一种貌似无规则的，类似随机的现象。这里，“确定性系统”是指混沌系统由确定的动力系统描述，其响应也是确定的。但人们发现一些系统中，特别是非线性系统中体现出了类似随机的复杂状态，表现为系统长期行为的不可预测性，即一个系统的演变过程对初态非常敏感，在科学上，人们就把具有上述现象的系统称为混沌系统。总而言之，混沌的本质是系统的长期行为对初始条件的敏感性，如我们常说“差之毫厘，失之千里”、蝴蝶效应等等。混沌是非线性系统普遍具有的一种复杂动力学行为，被称为是20世纪最重要的科学发现之一。

混沌的基本特征混沌是非线性系统中一种比较特殊的运动状态，是由确定系统产生的类似随机的运动行为，对初始值极度敏感且高度依赖，并且不会因为外界条件的改变而改变，混沌系统在参数和初值相同的条件下可以重现其运动轨迹，但是由于实验设备的精度原因，无法观测到混沌运动的长期运动规律。下面介绍混沌的几个特征：1

初始条件的极度敏感性
混沌运动行为对初始条件的改变极度敏感，导致这种高度敏感性的原因是折叠与拉伸，系统经过多次折叠与拉伸后，其运动轨迹被打乱从而出现混沌现象。初始条件的微小改变，使系统的长时间的动力学行为难以预测，而短时间内的动力学行为是可以预测和确定的。

遍历性
遍历性即为各种状态都要经历，也就是混沌运动经历其吸引域以内的各个状态点，并且其运动轨迹不会交叉重复。

有界性
混沌运动从局部来看是不稳定的，但是从整体上来看是具有稳定特性的，无论其内部状态多么复杂，其运动轨迹始终在一个固定的区域内，即为混沌的吸引域。由于混沌系统的所有解都都分布在此吸引域内，因此混沌系统整体是稳定、有界的。

分维性
维数是描述吸引子结构复杂程度的量，而混沌的分维特性是用来描述混沌运动轨迹的几何形态的。比如说，分维数为2.06的洛伦兹模型，它是用来描述大气混沌的；分维数为1.26，它是用来描述Koch雪花曲线的。在相空间内，由于混沌运动的无限扭结、折叠和缠绕，于是构成了具有无穷多层的自相似结构。

标度性
标度不变性是指貌似无序、毫无规律的混沌系统的运动状态，但是只要具有充足的外界条件，足够高的实验设备、数值精度，就可以得到混沌运动在极小的混沌区域内的有序的运动轨迹。

普适性
普适性体现了混沌运动的内在规律，它所指的是系统在即将进入混沌态时，不同的混沌系统所体现出来的一些共同特性，它不会因为参数或方程发生变化而做出改变。另外，混沌常数决定了混沌运动的普适性，如Feigenbaum常数。

随机性
混沌由确定系统产生，却又是一种类似随机的运动，它具有内在随机性，并且不受外界条件影响，其内在随机性表现在吸引子区域内的每一点的概率分布密度函数都不等于零，这也体现出了混沌整体稳定、局部不稳定的特性。混沌对初始条件的高度敏感性直接导致了混沌的内在随机性。

正李雅普诺夫指数
在发现混沌之前，人们认为确定系统存在三种运动状态:定态、准周期态和周期态。混沌态的发现改变了人们的这一固有看法，混沌系统具有整体稳定，局部不稳定的特点，其运动轨迹永不交叉、重复。李雅普诺夫指数反映的是混沌系统运动轨道之间的相互分离程度，正李雅普诺夫指数的存在与否是确定系统是否处于混沌状态的重要标志，而指数的大小是体现蝴蝶效应强弱的标志。在超混沌系统中，至少存在两个正李雅普诺夫指数。

系统识别为了掌握和控制混沌，必须首先缺定是否发生了混沌现象。只有识别出发生了混沌运动，才能用混沌理论对系统进行处理。一般认为观察到复杂轨迹，就表示发生了混沌运动，但根据观察是无法弄清这一轨迹到底是具有很长周期解，还是非周期解。如果试图建立工程模型，通过模型的解来证明是否存在混沌现象，这一方法也是十分困难的。因为一般情况下，工程模型的解析解是无法求出的。用实验的方法来进行测试、识别混沌是一种有效的方法。2

波形图与相轨图
该方法主要是将系统的运动状态转变成电信号后在示波器或信号处理机上显示出来，根据显示结果来判断是否有混沌发生，可以利用变换电路，观察系统运动的位移、速度与时间的关系的波形图，对是否发生混沌进行识别。对于混沌运动来说，它们一般呈现为不规则的杂乱波，也可以将传感器测得的状态与时间的关系的电信号经过变换电路，转换成位移和速度的信号输人示波器中，就可以得到二维的相轨图。如果是混沌运动，则相轨图呈现为不规则的螺旋杂乱曲线。

庞加莱映射图(Poincare Map)
庞加莱映射图可以较容易地判断系统运动是否周期的，具体做法是将相轨线按激励(扰动)周期取点离散化，在取得系统运动位移和速度的波信号后，显示相图时，按扰动的周期作点的显示，并将这些点的位置进行记录，即可得到庞加莱映射图。当系统的运动为极限环运动时，在庞加莱映射截面上简化为一个不动点；当系统的运动为周期运动时，在庞加莱映射截面上简化为n个点(称为周期n运动)；当系统的运动为非周期的混沌运动时，在庞加莱映射截面上则为沿一条直线段或一条曲线弧分布着的点的集合。因此庞加莱映射可用来判断一个系统是否为混沌系统。显然，它是一种比较直观的判断方法。

李雅谱诺夫指数(Lyapunov Exponents)
在当今非线性的研究中LE指数得到了越来越多的应用。Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌，可以从其最大Lyapunov指数是否大于零非常直观地判断出来;一个正的Lyapunov指数，意味着在系统相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随着时间的演化而呈现指数率的增加以致达到无法预测，也即相邻轨道迅速分离，这就是混沌现象。对收敛系统而言，由于从相邻点出发的轨道，其距离逐渐变小，最终变为一个点或一个极限环，因此，相应李雅谱诺夫指数小于零。由此可知，可以利用系统的李雅谱诺夫指数来判断一个系统的运动行为。

控制混沌可分为四类：第一类时间混沌，只存在与时间演化有关的混沌；第二类空间混沌，只存在与空间位置变化有关的混沌;第三类时空混沌，同时在时间上与空间上都呈现混沌，还可以包括生物体产生的功能混沌在内。第四类超混沌，存在一个以上正切apunov指数的混沌行为。

如果将常规的控制问题理解为从无序到有序的单向转换，那么混沌控制可以被理解为在混沌和有序之间的双向转换机制：在一个动态系统中，当混沌具有正面效应时，该机制应该能够强化己存在的混沌或产生新的混沌;反之，当混沌具有负面效应时，就消除它。混沌控制理论与常规控制理论并不相排斥。相反，研究混沌控制的目的是想要在更广的范围内更好地操纵非线性系统的动态行为，以期得到更多的便利。混沌控制的研究就是寻求发展适合于混沌系统的新的控制理论和方法。在这种意义下，混沌控制是对常规控制理论的有益补充。

迄今，基于在混沌奇怪吸引子内存在无穷多不稳定周期轨道、平衡点、恒定态及非周期轨道等各种可能运动形态，控制混沌的目标总体上有四种类型：

(1)抑制混沌，通过控制策略获得所需的新的动力学行为，包括各种周期态、非周期态。
(2)镇定混沌，稳定某个不稳定平衡点、周期轨道，其特点是并不改变系统原有的运动形态。
(3)混沌同步，镇定所需的混沌态，实现两个或多个系统的混沌同步。
(4)混沌反控制，强化混沌系统原有的混沌态或使非混沌系统产生需要的混沌态。

混沌控制的主要任务可包括以下几方面：
(1)抑制或消除某些类型的混沌或超混沌；
(2)稳定在混沌或超混沌吸引子中所期望的不稳定周期态；
(3)通过控制达到新的动力学行为，但不一定是原来系统具有的运动形态；
(4)消除多重的混沌或超混沌吸引子流域；
(5)混沌同步，实现两个或多个混沌系统在某种性能指标上达到一致；
(6)混沌反控制，产生非混沌系统的混沌或增强原来混沌系统的混沌；
(7)分岔的控制与反控制；

(8)以上各种控制目标的相互转换与组合应用。3