[科普中国]-非线性随机系统

基本概念随机系统

1907年前后，马尔可夫发现了一列有某种相依性的随机变量，其称为马尔可夫链。1923年，维纳给出了至今仍然很重要的研究对象的数学定义一布朗运动。即使如此，我们通常认为随机过程一般理论是在30年代开始研究。30年代初，柯尔莫哥洛夫和辛钦分别发表了《概率论的解析方法》、《平稳过程的相关理论》，为马尔可夫过程与平稳过程发展提供了理论依据。莱维在前人的基础上深入研究布朗运动与可加过程，结合概率知识进行考虑，形成书籍将其出版。1953年，杜布出版了《随机过程论》，书中对随机过程的相关理论给予了详细的讲述。1951年，伊藤清在布朗运动方面提出了随机微分方程的理论。近年来，人们开始讨论了关于半靴的随机微分方程。60年代，法国数学家发展了随机过程的一般理论，他们主要是从马尔可夫过程和位势理论出发。中国学者则在平稳过程、马尔可夫过程、靴论、极限定理、随机微分方程等方面取得了较好的成绩。

非线性系统所谓非线性系统，指的是系统的状态与输出变量在外部条件的影响下，不能用线性关系来描述的系统。系统受到的这种影响是相对于系统输入的运动特性来说的。由于组成系统的各部件在不同程度上存在非线性的性质，因此在实际生活中，绝对线性的系统是不存在的。为了改善系统的这种非线性性以得到稳定的系统，需要通过设计控制器来研究系统的稳定性，由此产生了相平面法、描述函数法和谐波平衡法等。在过去的几十年里，对于非线性系统的研究，产生的很多新兴的控制理论中，普遍结合了李雅普诺夫稳定性理论，例如以Kokotovic为代表的反推控制理论(Backstepping ) ，以意大利Isidorii教授为代表发展起来的微分几何控制理论，以Swaroop和Hedrick等人为代表基于反推控制理论发展起来的动态面控制设计方法，以Zade和Mamdani教授为代表发展起来的模糊数学和模糊控制理论。迄今为止，李雅普诺夫方法己经成为研究非线性系统最常用也是最为完善的一种方法，通过构造李雅普诺夫泛函、构造系统控制器来研究非线性系统的稳定性也己取得显著成效。

研究现状在自然界中，随机现象是普遍存在的，很多实际系统都无法避免它的影响，因此在很多学科领域和工程实际中，随机系统都得到了广泛的应用，在实际生活中，绝大多数系统都会受到某种噪声的影响，而这样的噪声通常会表现出一定的随机性，如生物系统、化学反应过程、经济学、金融系统、物理电路、社会系统等。在二十世纪中期，美籍匈牙利数学家Kalman R.E.提出的Kalman滤波理论和美国数学家WienerN.提出的Wiener滤波理论是随机系统理论的重要基础，具有重要的理论意义。之后，随机系统理论得到学者们的广泛关注，针对随机系统的建模、稳定性分析、控制和滤波等问题，己经取得了一定的研究成果，而相应的故障检测问题研究较少。

另一方面，在实际系统中，被控对象或过程大部分呈现非线性特征。非线性系统与线性系统相比，其最重要最本质的特性是不能采用叠加原理进行分析，从而决定了在研究上的复杂性。但在实际非线性随机系统中，非线性现象普遍存在，如频率对振幅的依赖、跳跃谐振、频率捕捉及异步控制等，它反映了非线性系统运动本质。因此给非线性随机系统分析和设计带来本质性的困难。60年代以来，非线性随机系统研究进入了一个新阶段。对于混沌等非线性现象成为非线性系统理论中一个新的研究方向，尤其是数学方法，如微分几何方法、微分流形理论、非线性泛函分析等引入非线性系统，对于非线性随机系统理论产生了重要影响[川。二十世纪九十年代，非线性随机系统的滤波和控制问题成为研究热点，学者们从多种角度对非线性系统进行了探讨，如稳定性问题、模糊控制问题、自适应控制问题以及故障检测和容错控制问题等。

在许多文献中，非线性被看作系统的一种干扰，这种干扰可能来自于外部非线性输入或者原始系统中高度非线性的线性化过程，是导致系统性能下降的一个重要因素。有的文献中一些非线性现象被建模为具有外部干扰的非线性系统。有的文献考虑了在不完全信息情形下随机发生非线性。对于随机发生非线性可以定义为某一时刻，可能由于带宽限制、子系统间的关联改变及非线性对象工作点的变化而引起非线性的类型及强度随机可变。为了简化系统模型和研究的方便，通常需要对非线性增加不同的约束条件，例如李普希兹条件。在这些约束条件中，一种以统计方式描述的所谓随机非线性己经引起了学者们的特别关注，主要原因是它包含了几种常用的非线性约束条件，更加具有一般性。1

滤波问题滤波问题一直以来都是控制研究领域中的重要问题之一，其机理是基于测量信息构造合适的滤波器，对系统内部不可测信号进行估计。在过去的几十年里，根据设计目标的不同，涌现了多种滤波器设计算法，包括：维纳滤波、卡尔曼滤波，扩展卡尔曼滤波、粒子滤波、H∞滤波、H2/H∞滤波、集值估计等等。这些滤波算法在航空器轨道修正、组合导航与动态定位、传感器数据融合、工业过程控制及微观经济学等领域得到了广泛的应用。

这里主要介绍噪声统计特性己知的非线性随机系统的滤波问题。
自20世纪60年代卡尔曼滤波被提出以来，它在航空航天、社会经济及工业过程等领域得到了广泛应用。卡尔曼滤波器是一种线性最优滤波器。在噪声统计特性己知的前提下，它能够保证滤波误差的协方差矩阵在最小方差意义下是最优的。然而，卡尔曼滤波器要求系统模型必须是精确己知的，否则可能会导致滤波算法发散。这就使得卡尔曼滤波算法在一些应用领域具有一定的局限性。于是，针对实际对象和待估计系统的数学模型间存在误差的情形，广大学者们给出了一些新的滤波器设计方法。文献[探讨了一类具有乘性噪声的离散线性时变不确定系统的鲁棒卡尔曼滤波器设计问题，设计了一个鲁棒有限域卡尔曼滤波器。根据黎卡提型差分方程方法，给出了保证滤波误差协方差矩阵的上界存在的充分性条件。，当系统具有建模不确定性和测量丢失时，构造了改进的鲁棒卡尔曼滤波器。沿着相同的思路，通过设计合适的滤波器增益优化了滤波误差协方差矩阵的上界。

网络化控制系统的发展及其广阔的应用范围为控制理论的研究注入了新鲜的活力。相应地，基于卡尔曼滤波方法，广大研究人员们提出了很多具有网络诱导现象的线性时变递推滤波算法，涌现了大批优秀的结果。其中，基于有的文献中的连续数据丢包模型，研究了一类具有连续数据丢包的离散线性随机系统的状态估计问题。通过将状态和测量进行增广，原始的系统被转化成一个随机参数系统。基于当前时刻和前一时刻的测量信息，构造了最优全阶线性滤波器。当系统不存在数据包丢失时，该文的滤波算法则退化为标准的卡尔曼滤波算法。为了减少计算成本问题而没有采用状态增广方法，将原系统转化成一个具有测量时滞和有色测量噪声的系统，发展了一种最小方差意义下的无偏最优滤波器设计算法。同时，对具有连续数据丢包的离散线性随机系统设计了最优滤波器、预测器及平滑器。基于线性矩阵不等式技术，学者们也讨论了具有连续数据丢包的非线性随机系统的滤波问题。另一方面，有的文献研究了具有信道衰减的线性时不变系统的卡尔曼滤波器设计问题，给出了保证时变卡尔曼滤波器的误差协方差是有界的且收敛到一个稳态值的判别条件。

目前，线性时变随机系统的最优滤波问题已经发展的比较成熟。然而，几乎所有的实际系统都具有一定的非线性特性，非线性的存在会使得系统的整体性能受到影响，进而给滤波器设计带来很大的困难和新的挑战。因此，研究非线性时变随机系统的滤波问题具有重要的理论和现实意义。有的文献研究了一类具有一般非线性的离散确定型系统的扩展卡尔曼滤波器设计问题，给出了扩展卡尔曼滤波器为指数观测器并保证估计误差是指数稳定的判别条件。进一步地，针对随机框架下的一般非线性离散系统，设计了扩展卡尔曼滤波器并分析了滤波器的估计误差行为。如果初始估计误差及扰动噪声足够小，同时系统满足非线性可观性的秩判别准则，则估计误差也是有界的。近期，该方法被推广到具有测量丢失的离散非线性时变系统的扩展卡尔曼滤波器设计问题。类似于多数文献，通过引入服从Bernoulfi分布的随机变量，刻画了测量丢失现象，设计了扩展卡尔曼滤波器并分析了滤波器的随机稳定性。然而仍存在一些不足，它要求描述测量丢失现象的随机变量必须是实时可知的，这在滤波器的具体实现过程中是难于保证的，因此必然具有一定的保守性。另一方面，自从20世纪80年代内点法在求解线性矩阵不等式方面得到了广泛应用，网络环境下的非线性时不变随机系统的滤波问题也得到了迅猛发展。然而，值得一提的是，几乎所有的实时系统都具有时变特性。于是，探讨离散非线性时变随机系统的滤波问题更具实际意义。由于随机性和时变性的深奥性，人们对该类问题的探索尚浅，仍有很大的研究空间。

另一方面，在实际应用中，由于模型离散化及外界噪声干扰的复杂性等原因，待估计系统的过程和测量噪声常常不是理想的高斯白噪声。例如，在目标跟踪系统中，如果系统过程噪声和测量噪声都依赖于系统状态，则这些噪声间可能是交叉相关的；注意到系统状态的连续性，则在离散化之后过程噪声可能是自相关的；此外，在传感器网络中，若多个传感器在同一噪声环境中量测信息，此时测量噪声间是交叉相关的。在雷达系统中，若采样频率远远大于误差带宽，在滤波器设计的过程中则不能简单地把噪声当成高斯噪声来处理。目前，学者们在具有相关噪声的线性时变随机系统的滤波问题方面己经做了一些优秀的工作。其中，针对过程噪声和测量噪声是两步相关的情形，探讨了线性离散随机系统的最优卡尔曼型状态估计问题，并讨论了多步噪声相关的情形。此外，证明了当过程噪声和测量噪声是一步相关时，设计的卡尔曼型滤波器是全局最优的。针对过程噪声是有限步相关的情形，设计了卡尔曼型递推滤波器。基于噪声相关模型和连续数据丢失模型，研究了一类线性不确定随机系统的最优鲁棒卡尔曼型递推滤波器设计问题。系统的状态方程、测量输出及滤波器参数均存在随机不确定性。通过将状态和测量输出进行增广，原动态系统被转化成一个不确定随机系统，设计了鲁棒非脆弱卡尔曼型滤波器。基于黎卡提型差分方程方法，给出了滤波增益的递推形式并保证滤波误差的协方差是最优的。目前，文献中具有相关噪声的时变随机系统的递推滤波算法多数都仅适用于线性系统。此外，在滤波器设计过程中同时考虑相关噪声及网络诱导现象的文献也较少。因此，关于具有相关噪声和网络诱导现象的非线性时变随机系统的滤波算法研究是一个值得进一步考虑的课题。注意到噪声相关的复杂性，它对滤波器设计问题带来了新的挑战。

控制问题在过去的几十年里，非线性控制理论也得到了蓬勃的发展。如前所述，几乎所有的实际系统都是非线性系统，而我们讨论的线性系统仅仅是对非线性的简化或近似。从某种意义上讲，非线性控制理论源于实际的需要，尤其随着现代社会的飞速发展，人们对控制性能及其精度的要求也越来越高，而传统的线性控制理论在某些方面是很难保证高精度要求的。于是，非线性系统的控制问题一直以来都是系统控制理论研究的主要问题之一。广大研究人员们也提出了多种方法：古典方法、微分几何和微分代数方法、变结构方法、Lyapunov方法等等，并给出了许多有效的系统分析与设计策略。在最优控制、鲁棒控制、自适应控制、可靠控制、滑模控制等领域涌现了大批的研究结果。2

非线性随机系统的容错控制
当今工程系统正朝着大规模和复杂化的方向发展，在系统的运行过程中往往会出现一些不可预测的故障，从而会造成巨大的人员伤亡及经济损失。因此，在工程系统设计过程中，系统性能的可靠性要求也变得更高。于是，容错控制问题应运而生。该问题的主要目标是：在传感器、执行器失效或者其它元部件发生故障时，通过设计对系统故障具有强鲁棒性的可靠控制器，保证系统仍具有较理想的性能并以最大程度减少损失。容错控制包括主动容错控制和被动容错控制。主动容错控制包括控制律重新调度、控制器重构设计及模型跟随重组，它是通过故障诊断机构获取故障的信息后对系统进行重组。被动容错控制包括：完整性、可靠镇定及联立镇定。在系统设计时，被动容错控制将系统可能发生的故障情况作为先验知识，无需在线获取故障的信息，通常与鲁棒控制技术相结合。目前，容错控制理论己在航天、航空、工业机器人及核电站等领域的控制系统设计中得到了成功的应用。因此，容错控制问题的研究具有广阔的应用前景及实用价值。

滑模控制
20世纪50年代，前苏联学者Emelyanov首次提出滑模控制思想，之后Utkin和Itkin等学者进一步地发展了滑模控制理论。滑模控制实际上是一种特殊的非线性控制，其控制律具有切换性。通过设计滑模控制器，将系统的状态在有限时间内驱动到某一子流形(事先选定的滑模面)并在后续时间维持在该子流形上，形成滑动模态。系统从任意初始状态趋向到滑模面的阶段为趋近阶段，而在滑模面上运动的阶段为滑模阶段。由于滑模控制方法对系统的建模误差、参数变化及外部扰动等不确定性因素具有强鲁棒性的优势，在过去的三十年里，滑模控制得到了深入的理论研究和广泛的实际应用，进而成为了控制领域的一个重要研究分支。

非线性时滞随机系统的滑模控制
时滞现象广泛存在于航空、经济、生物及工程系统中，它是导致系统整体性能恶化甚至不稳定的主要原因之一。于是，时滞系统的相关研究得到了广大研究人员的极大关注。由于在大多数情形下，稳定是系统能够正常运行的前提。因此，稳定性研究一直以来都是时滞系统分析的重要问题之一。目前，多数关于时滞系统的稳定性判别条件都是基于线性矩阵不等式技术和Lyapunov稳定性理论给出的。根据判别条件是否依赖于时滞的大小，可将时滞系统的稳定性判别准则分为两大类：时滞相关的和时滞无关的。为了给出具有更少保守性的时滞相关判别条件，广大研究人员提出了大量的方法，如：有界技术奇异系统方法、自由权矩阵方法和时滞分割方法等。相比其它方法，时滞分割技术可以更有效地减少时滞带来的保守性。基于时滞分割方法并通过构造新颖的Lyapunov-Krasovskii泛函，有的文献研究了具有定常时滞的神经网络并给出了一个具有更少保守性的时滞相关指数稳定性判别条件。

在过去的几十年里，鉴于滑模控制方法的强鲁棒性，时滞系统的滑模控制问题得到了广泛关注。其中，基于Lyapunov方法，研究了具有单一时滞/多时滞和加性摄动的不确定系统的滑模控制问题。当系统状态是不可测和系统具有非匹配不确定性时，深入研究了一类具有定常时滞的连续Ito型随机系统的输出反馈滑模控制问题。基于状态观测器设计了滑模控制策略，从而保证了选定滑模面的可达性。利用线性矩阵不等式技术，给出了保证闭环时滞随机系统在概率意义下是渐近稳定的充分性条件。当系统状态可测时，则可以容易获得全状态反馈滑模控制律。针对具有时变时滞和随机扰动的不确定连续随机系统，通过构造一个新的积分型滑模面，探讨了该类系统的滑模控制器设计问题，并给出了保证滑动模态是全局随机稳定的充分性判别条件。同时，根据凸优化方法设计了滑模控制器，进而保证指定滑模面的可达性。

值得说明的是，上述关于时滞系统的滑模控制问题的研究多数都是考虑连续系统。然而，随着计算机控制技术的迅速发展与广泛应用，当前控制系统多数采用离散系统。因此，使用滑模控制方法研究离散系统己经成为滑模控制的一个重要方向。文献[158]提出了基于趋近律的离散滑模控制的滑模可达性判别条件，该方法被成功应用于解决不确定离散时滞系统的滑模控制问题。特别地，基于离散可达性判别条件，首次研究了一类网络化环境下具有随机通讯时滞的非线性离散随机系统的滑模控制问题。引入一列服从Bernoulli分布的随机变量，刻画了网络环境下的随机发生通讯时滞现象。通过构造新的滑模控制律并采用线性矩阵不等式技术，得到了保证滑动模态鲁棒指数均方稳定的充分性判别条件。然而，使用滑模控制理论来处理网络环境下的离散非线性时滞随机系统的控制问题，尚未引起足够的重视，有待深入研究。另一方面，研究了具有随机发生非线性和混合时滞(离散时滞和分布式时滞)的离散随机复杂网络的全局同步性问题，通过结合自由权矩阵方法和时滞分割思想，给出了一些保证离散时滞随机复杂网络的均方渐近同步性的充分条件，证明了时滞分割思想的优越性。如何融合好时滞分割思想和滑模控制方法进而处理网络环境下的离散非线性时滞随机系统的控制问题，是一个值得尝试并具有挑战性的研究课题。