[科普中国]-非线性自适应控制

基本概念非线性控制

其实，人们对非线性控制系统理论的研究很早就开始了。早在20世纪40年代以前，就产生了针对某些特定的、简单的非线性系统的控制理论和方法，但这些理论和方法都很不完善。直至上世纪40年代，研究才有突破性的进展。最具代表性的成果有：相平面分析法、李雅普诺夫方法和描述函数法。相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法，但它仅适用于二阶非线性系统，对于更高阶次的非线性系统就显得束手无策了。李雅普诺夫方法是李雅普诺夫稳定性理论在非线性系统中的应用，是真正意义上的非线性方法。该方法的核心在于构造李雅普诺夫函数，但到目前为止仍然缺乏一种一般地构造方法。所以，它的应用更多依靠的是控制者的经验。描述函数法是从频率域的角度研究非线性控制系统的稳定性的一种等效线性化方法，只是一种近似方法。它是把线性控制理论中经典频率域方法应用到非线性系统中的一种推广，只适用于非线性程度较低的系统。对于非线性程度较高的系统，应用描述函数法可能导致错误的结论。进入50年代以后，人们对非线性系统的稳定性做了很多研究。波波夫提出了著名的以自己名字命名的稳定性判据一一Popov判据，接着又出现了一种频域形式的绝对稳定判据一一圆盘判据。60年代，输入输出反馈稳定性概念的引入又使得原先的非线性系统稳定判据有了新的发展。70年代，随着耗散系统概念的提出，人们开始将目光投向了非线性耗散系统的稳定性研究。

上面这些方法都侧重于非线性系统的稳定性分析，而对非线性动态系统的研究直到上世纪80年代初才取得重要突破。随着微分几何理论和微分代数方法的引入，经典非线性控制方法中局部线性化和小范围运动的束缚被打破，对非线性系统大范围的综合与分析成为可能。在这一阶段，很多控制方法都得到了飞速的发展，比如：反馈线性化、变结构控制、鲁棒控制、自适应控制以及逆系统控制等等。之后，随着计算机技术的发展，人工智能技术也得到快速的发展，它与自动控制结合而形成的智能控制理论就成为了目前自动控制理论中研究方向最多、最活跃的控制理论。其中具有代表性的有模糊逻辑控制、专家控制、学习控制、神经网络控制、分级递阶控制等。

自适应控制控制系统在设计和实现的过程中普遍存在着不确定性，主要表现在以下几个方面：
1、系统数学模型与实际系统间存在差别，即存在未建模动态；

2、系统本身的结构和参数是未知或时变的；

3、系统存在随机且不能测量的扰动。

对于这类不确定系统，传统的反馈控制理论很难设计出满足性能要求的控制器，而且在系统运行过程中经常需要人的实时干预。但在很多情况下，人工的实时干预是不现实的，因此需要寻找新的方法来应付这种不确定性。参照口常生活中人类能通过自觉改变自己以适应新环境的特性，科学家们提出了自适应控制器的设想，这为解决这类不确定系统的控制问题开辟了道路。早在20世纪50年代末，美国麻省理工学院的Whitaker教授就首先提出了飞机自动驾驶仪的模型参考自适应控制方案，即MIT方案。但是，受当时计算机技术和控制理论水平的限制，它在实际中的应用受挫。1966年，德国学者Parks P.C.提出了用李雅普诺夫第二法推导自适应控制算法以保证自适应系统全局稳定的方法，但同样未能让自适应控制进入实用阶段。直到70年代，伴随着计算机技术的迅猛发展，自适应控制技术才真正转入成功实用阶段。例如:1973年，瑞典学者Astrom K.J.和Wittenmark B.首先提出了自校正调节器，并在造纸厂成功应用；1974年，Gilbart J.W.和Wiston G.C.提出的模型参考自适应控制器在光学跟踪望远镜上的成功应用等等。自此，自适应控制技术重新受到广大学者的青睐并进入了飞速发展时期。目前，自适应控制技术己广泛应用于各个领域，例如：航空、航天机器人、现代武器系统、工业过程、化工过程、生物工程、通信、交通管理等。

近二十年来，由于智能理论的高速发展，产生了许多基于先进理论的自适应控制系统，主要有基于模糊逻辑的自适应控制、基于神经网络的自适应控制和基于其他人工智能技术的自适应控制等。1

自适应控制的特点自适应控制是自动控制领域中的一个分支，它是随着对象的复杂化，当动态特性不可知或发生不可预测的变化时，为了得到高性能的控制器而产生的。它的控制目的是使被控对象的状态或运动轨迹满足预定的性能指标。自适应控制系统能在其运行过程中，通过不断测量系统的输入、状态、输出或者性能参数逐渐了解和掌握对象，然后根据获得的信息按照一定的设计方法作出控制决策去更新控制器的结构、参数和控制作用，使在某个性能指标下控制效果达到最优或近似最优。

由上述阐述可知，自适应控制具有以下特点：
1.具有在线进行系统结构和参数或系统性能指标度量的能力，以便得到系统当前状态的改变情况；
2.能按照一定的规律确定当前的控制策略；
3.能在线修改控制器的参数或可调系统的输入信号。

技术随着科学技术水平的不断提升，人们对生产过程的分析要求越来越精细，大量的实验结果显示实际中存在的物理系统都是非线性的，所谓的线性只是对实际系统的一种简化或近似。人类认识客观世界和改造客观世界总是由简单到复杂，因此，控制理论研究同样是从最简单的线性系统研究开始。目前已经形成了以传递函数及状态空间为主要手段的相对成熟的线性控制理论研究方法，然而，针对非线性控制系统，除了一些特殊类型系统，目前还没有一套可行的通用方法。

对非线性控制系统的研究已经取得一些进展，如相平面法、李亚普诺夫法和描述函数法等已经被广泛采用解决实际的非线性系统问题，但是，这些方法都存在各种各样的局限性。如相平面法仅可以研究三阶以下系统的特征(稳定性、过渡过程)。虽然近年来提出了如频率域的波波夫判据，广义圆判据，输入输出稳定性理论等。但总体来讲，非线性控制理论目前仍处于初级发展阶段，还存在许多问题有待研究解决。

李亚普诺夫函数是研究非线性控制问题的一个重要手段。切apunov方法可以分为第一方法和第二方法。Lyapunov第一方法主要原理是把非线性系统在其工作点附近进行线性化，然后利用线性系统理论对系统稳定性进行分析，但是，当被控系统工作点变化频繁时，基于线性化模型所设计的控制器往往效果不佳，Lyapunov第一方法也称为间接法。

而Lyapunov第二方法是直接分析非线性的运动特性，并建立相应的李雅普诺夫函数，通过对李雅普诺夫函数的导数进行分析来获得系统稳定性信息，进而用于指导控制器设计。因此，Lyapunov第二方法被称为直接法。直接法的主要局限性是目前还没有找到寻找李亚普诺夫函数的通用方法。

随着微分几何法的发展进步，出现了一批基于微分几何理论的非线性控制方法和理论，微分几何理论被广泛用来研究非线性系统的能控能观特性、解祸、线性化、分解、实现等方面的问题。如有的文献利用微分几何理论给出了非线性系统局部线性化的充要条件。另外有些文献对非线性系统全局线性化进行了研究。Isidori 给出了输入输出线性化的充要条件并提出了零动态概念，使得基于微分几何理论的非线性控制方法和理论成为了独立的分支并得到了快速发展。

虽然非线性控制理论取得了较大发展，但是之前的描述函数法和基于微分几何理论的非线性控制方法都是建立在系统模型已知的前提下。实际系统中往往伴随着各种各样的不确定性，如随机风速和机械老化造成风力发电系统模型处于不断变化中，机组的参数偏离其基准值。系统的不确定性往往造成系统性能下降，并有可能破坏系统稳定性。系统的不确定性存在各种各样的形式，如参数不确定、有界干扰，系统结构不确定等。自适应控制是处理参数不确定性的主要技术，它可以根据系统的输入输出数据在线学习系统的各项参数，并保证参数估计跟踪到其实际值。但是，自适应技术只可以处理系统参数固定的情况，当系统参数随着时问漂移时，就需要借助于各种鲁棒控制算法。因此出现了自适应鲁棒控制算法，该算法既可以处理参数不确定也可以处理有界千扰等不确定性。

滑模控制是非线性自适应鲁棒领域中发展相对成熟且应用最为广泛的一种控制策略。滑模控制可以根据系统状态(如跟踪误差或其各阶导数)不断改变控制器结构，以保证系统状态跟踪到其参考轨迹，因此，滑模控制属于变结构控制的一种控制方法。滑模控制的原理是根据系统所期望的特性设置超平面，并通过滑动模态控制器使系统状态从超平面之外向超平面收缩，系统状态一旦到达超平面，将沿着超平面收敛到系统平衡点。滑模控制可以有效地克服系统中存在的各种不确定性，如干扰和未建模动态等。而且，滑模控制器由于其结构简单、响应速度快及鲁棒性强，已经广泛应用于各种非线性系统中(如机器人、飞行器和风力发电系统)。但是，滑模控制器的变结构特性给控制输入带来了抖振现象，该现象大大降低设备的使用寿命并有可能激活系统的未建模动态，使得控制效果变差或破坏系统稳定性。为了克服滑模控制的缺点，有的文献使用连续的双曲正切函数代替滑模控制中的不连续符号函数，使得控制输入更加平滑。有的提出了二阶滑模控制方法，该方法通过误差阶数提升的方式同样可以消除控制输入中的抖振现象。

神经网络理论的突破性进展引起了控制界的广泛关注，神经网络被用来处理非线性系统的非线性环节及各种不确定性，出现了各种不同类型的非线性神经网络自适应控制器。有的文献研究了标准非仿射非线性系统的状态反馈控制和输出反馈控制，主要思路是首先利用隐函数定理获得理想控制器，然后利用神经网络在线学习该理想控制器。该文献为非线性控制器设计提供了一种新的思路，但是增益函数关于时间的导数要求是有界的。有的文献提出另外一种基于神经网络的控制器，并消除了增益函数关于时间导数有界的假设。有的文献结合神经网络技术、输入状态稳定性原理和小增益原理提出一种新的神经网络控制器，成功地解决了非仿射系统中奇异点问题。此外，结合隐函数定理和均值定理，还出现了各种各样的神经网络非线性控制器。

目前的神经网络自适应控制器都是基于Backstepping机制Backstepping的基本思想是为每一阶子系统设计虚拟控制输入，并为之设计中间控制律和Lyapunov函数，最后设计最终的控制律。Backstepping机制一个重要缺陷是随着系统阶数的升高，控制器设计和稳定性分析复杂度呈指数阶增长，这主要是由于控制器设计需要不断地对虚拟控制输入进行求导。为了降低控制器设计复杂度，近年来提出了一种DSC控制技术，该技术在每个控制输入中引用一个辅助低通滤波器，避免了对虚拟控制输入进行求导，相比于Backstepping控制器复杂度有所降低。但是由于控制输入同时作为神经网络的输入和输出，有可能出现“代数循环”，造成系统不稳定。有的文献引入一个特别的连续函数避免了代数循环的出现。但是，基于DSC的神经网络非线性控制本质上仍是一种递归的方法，对于一个n阶系统仍然需要O(n)个神经网络单元和。个低通滤波器。最近，有的文献提出了一种不基于Backstepping和DSC的神经网络控制器，大大简化了控制器设计复杂度。

总体上来讲，目前的非线性自适应控制器还十分不成熟，不存在一套通用且成熟的控制器设计方法。非线性自适应控制器都是针对某一类非线性系统进行控制器设计。而且，控制器设计过程中仅考虑了系统的稳态性能即分析系统是否最终收敛到平衡值，系统的瞬态性能(如超调量和收敛时间等)成果相对匿乏。2

方法自适应控制方法自产生以来，随着现代控制理论的发展和计算机技术的进步取得了巨大的成就。像自适应控制方法、自校正方法以及与其他控制方法相结合的自适应控制方法，并广泛的应用到了许多实际系统中。特别是在解决参数未知模型和建模存在误差等不确定因素的问题上取得了很大的发展。到目前为止，自适应控制方法仍旧是非线性控制领域的重要研究课题.下面我来总结一下最近几十年非线性自适应控制系统的发展现状。

对于非线性系统，学者们提出了许多的处理方法，每一种方法对于自适应问题都是十分有效的.模型参考自适应控制(MRAC)是一类基于线性系统自适应算法的非线性系统自适应控制，它的结构比较简单因此设计思路就比较清晰，算法易于实现。有的文献利用Lyapunov第二方法通过分段线性化处理非线性系统，设计的自适应律解决了即使自适应回路失效其闭环系统仍能运行的问题。虽然MRAC有较大的优势但这种方法也存在着局限性。为了突破这种缺陷，有的文献在MRAC的基础上设计出了一种新的算法一一DMRBAC。这种算法能够保证整个闭环系统的稳定性。

自校正算法是一种通过参数的在线辨识，自校正控制器在自动校正自身参数的同时得到希望的闭环性能的非线性系统自适应控制。有的文献就是针对一类非线性系统设计补偿器，目的是使得系统准则函数最小，以期实现对非线性系统的自校正控制。有的文献是针对一类多输入多输出的非线性系统，将模糊控制与自适应控制相结合，分别设计了3种自适应控制方案。

以上的方法都是基于估计的方法，这也被称为间接法，间接法可能会产生有限时间逃逸现象。与间接法不同的是直接法，它与估计的方法有很大的区别也更加可靠。基于线性参数化的非线性系统的自适应控制随着时间的推移己经是一个非常成熟的理论，Krstic等人对自适应控制的形式进行了扩展，使得不确定参数和控制器不在一个积分器内，逐步完善了解决方法。递归法一一反推法的引入，使得直接法消除了仅限于相对阶为一或两阶的线性对象的限制，扩大了应用范围。对于下三角型严格参数反馈型系统，利用反推法对参数进行估计的问题己经得到了解决，但由于对同一参数的多次估计，使得该方法也存在缺陷。以这样的理论为基础，Krstic通过调节函数的方法消除了过参化的问题，也就是说对同一个参数不再需要多次估计只需要估计一次就够了，从而就解决了上述缺陷即过参数化的问题。3