[科普中国]-边界元素法

基本思想

将微分方程相应的基本解作为权函数 , 应用加权余量法并应用格林函数导出联系解域中待求函数值与边界上的函数值与法向导数值之间关系的积分方程 ; 令积分方程在边界上成立 ,获得边界积分方程 , 该方程表述了函数值和法向导数值在边界上的积分关系 ,而在这些边界值中 ,一部份是在边界条件中给定的 ,另一部份是待求的未知量 ,边界元法就是以边界积分方程作为求解的出发点 ,求出边界上的未知量 ; 在所导出的边界积分方程基础上利用有限元的离散化思想 ,把边界离散化 ,建立边界元代数方程组 ,求解后可获得边界上全部节点的函数值和法向导数值 ; 将全部边界值代入积分方程中 , 即可获得内点函数值的计算表达式 ,它可以表示成边界节点值的线性组合。1

优点( 1) 将全解域的计算化为解域边界上的计算 , 使求解问题的维数降低了一维 ,减少了计算工作量 ;

( 2) 能够方便地处理无界区域问题 。例如对于势流等的无限区域问题 ,使用边界元法求解时由于基本解满足无穷远处边界条件 , 在无穷远处边界上的积分恒等于零 。因此对于无限区域问题 , 例如具有无穷远边界的势流问题 , 无需确定外边界 ,只需在内边界上进行离散即可 ;

( 3) 边界元法的精度一般高于有限元法 。

缺点：边界元方程组的系数矩阵是不对称的满阵，该方法目前只适用于线性问题。