[科普中国]-最短路径算法

概述

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：

（1）确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题。适合使用Dijkstra算法。

（2）确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

（3）确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

（4）全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径。适合使用Floyd-Warshall算法1。

算法Dijkstra算法求单源、无负权的最短路。时效性较好，时间复杂度为O（V*V+E）。源点可达的话，O（V*lgV+E*lgV）=>O（E*lgV）。
当是稀疏图的情况时，此时E=V*V/lgV，所以算法的时间复杂度可为O（V^2）。若是斐波那契堆作优先队列的话，算法时间复杂度，则为O（V*lgV + E）。

Floyd求多源、无负权边的最短路。用矩阵记录图。时效性较差，时间复杂度O(V^3)。
Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N^3)，空间复杂度为O(N^2)。

Floyd-Warshall的原理是动态规划：
设Di,j,k为从i到j的只以(1..k)集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。
若最短路径经过点k，则Di,j,k = Di,k,k-1 + Dk,j,k-1；
若最短路径不经过点k，则Di,j,k = Di,j,k-1。
因此，Di,j,k = min(Di,k,k-1 + Dk,j,k-1 , Di,j,k-1)。

在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。
Floyd-Warshall算法的描述如下：
for k ← 1 to n do
for i ← 1 to n do
for j ← 1 to n do
if (Di,k + Dk,j Di,j ← Di,k + Dk,j;
其中Di,j表示由点i到点j的代价，当Di,j为 ∞ 表示两点之间没有任何连接2。

Bellman-Ford求单源最短路，可以判断有无负权回路（若有，则不存在最短路），
时效性较好，时间复杂度O（VE）。

Bellman-Ford算法是求解单源最短路径问题的一种算法。

单源点的最短路径问题是指：
给定一个加权有向图G和源点s，对于图G中的任意一点v，求从s到v的最短路径。

与Dijkstra算法不同的是，在Bellman-Ford算法中，边的权值可以为负数。

设想从我们可以从图中找到一个环路（即从v出发，经过若干个点之后又回到v）且这个环路中所有边的权值之和为负。那么通过这个环路，环路中任意两点的最短路径就可以无穷小下去。如果不处理这个负环路，程序就会永远运行下去。 而Bellman-Ford算法具有分辨这种负环路的能力。

SPFA是Bellman-Ford的队列优化，时效性相对好，时间复杂度O（kE）。（k