[科普中国]-线性最优控制

简介

线性最优控制（linear optimal control）最优控制问题的实质是要找出允许的控制作用（规律），使得动态系统（受控对象）从初始状态转移到某种要求的终端状态，并且保证某种要求的性能指标达到最小（大）。线性最优控制是特指那类受控对象为线性时不变系统的最优控制。

线性最优控制是最优控制的一个特殊类。在线性最优控制中，受控制的装置假设为线性的，而控制器，即产生最优控制作用的装置也限于是线性的。这就是说，控制器输出即最优控制是与输人线性相关，而输人则是对装置进行测量而产生的量。当然，人们一定会问，为什么要特别地研究线性最优控制，而不直接研究最优控制呢？这里可以提出一些理由。例如，工程上许多实际装置在其附加控制器之前是线性的，而 且线性控制器在技术上是最易实现的，且它往往能满足需要。

主要方法为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。通常，性能指标的好坏取决于所选择的控制函数和相应的运动状态。系统的运动状态受到运动方程的约束，而控制函数只能在允许的范围内选取。因此，从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极大值原理和动态规划。

而线性最优控制问题，它的解可以由转移函数表出，特别是在定常情况下，转移函数有具体表达式，从而完全解决最优控制问题，相对于非线性最优控制问题，线性最优控制问题好解决地多。主要解决方法有一下几种1：

最优控制理论古典变分法研究对泛函求极值的一种数学方法。古典变分法只能用在控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。

最优控制理论极大值原理极大值原理，是分析力学中哈密顿方法的推广。极大值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。

最优控制理论动态规划动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制变量受限制的情况，是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法。

最优控制理论已被应用于最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。

优点线性最优控制还有以下一些优点2：

1.许多最优控制问题不能用计算机求解，即使有解，但可能需要经过大量的计算工作才能得到。与此相反，几乎所有的线性最优控制问题都容易求得解析形式的解。

2．线性最优控制的结果可以应用于在小信号条件下运行的非线性系统。更确切地说，假设针对在一定初始状态下开始运行的某一个非线性系统已经设计了一种最优控制，如果此系统在稍为不同的初始状态下开始运行，则对此又存在另一种最优控制，这两种最优控制之差的一阶近似在通常情况下可以由求解一个线性最优控制问题推导得出。（这样作还给计算机处理带来便利。）它与非线性系统最优性判据无关。

3.线性最优控制所要求的计算机程序往往可以用于非线性最优控制问题。例如，以二阶变分理论和拟线性化理论为基础的非线性最优控制设计方法，即是用线性问题序列取代非线性问题的算法构成的。

4. 线性最优控制的设计结果除具有简单的最优性还将具有一些古典控制认为是值得注意的其他特性，例如有比较满意的增益贮备、相位贮备及非线性容限等。因此，线性最优控制的设计方法在某些场合可用于非线性系统。

5. 线性最优控制为统一处理按古典方法研究过的控制问题提供了框架。同时，它大大地扩充了控制设计所能奏效的系统的范围。

线性与非线性最优控制线性和非线性最优控制理论之间既有相似之处更有重大区别。当系统为线性的时候，它的解可以由转移函数表出，特别是在定常情况下，转移函数有具体表达式，这就为我们的分析提供了十分便和之处。另一方面，在最大值原理基础上获得的Hamilton函数关于控制的偏导呈现相对简单的形式，往往可以求出最优反馈率，从而完全解决最优控制问题。非线性的情况则复杂得多，对它的研究也不够彻底，许多方面还有待进一步深入。这个领域的研究有一个十分明显的特点，那就是多种数学理论和方法的综合运用，包括非线性泛函分析、代数、和微分几何方法等等。

线性最优控制所要求的计算机程序往往可以用于非线性最优控制问题。

主要研究问题线性二次型最优控制问题，一般也称做LQ或LQR（LinearQuadratic Regulator）问题，在最优控制理论与方法体系中具有非常重要的地位，也是线性控制问题的主要研究问题。线性二次型最优控制是对子线性系统的控制器设计问题，如果其性能指标是状态变量和（或）控制变量的二次型函数的积分，则这种动态系统的最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称为线性二次型最优控制问题或线性二次问题。线性二次型问题的最优解可以写成统一的解析表达式和实现求解过程的规范化，并可简一单地采用状 态线性反馈控制律构成闭环最优控制系统，能够兼顾多项性能指标，因此得到特别的重视，为现代控制理论中发展较为成熟的一部分3。