[科普中国]-数学变换方法

数学变换方法是研究客观事物的数量关系和空间形式的科学，也是进行理论思维的有效手段。由于数学变换方法有抽象性、逻辑性和辩证性等特性，所以在学科研究的各个领域得到了充分的运用。

概念数学变换方法是更格策略反映到数学思维中的一种方法。指在研究和解决数学课题时，采取迂回的手段达到目的的一种方法，也就是把要解决的问题先进行信息变换，使之转化为便于处理的形式。具体地讲，将复杂的问题通过变换转化成简单的问题；将难的问题通过变换转化成容易的问题；将未解决的问题通过变换转化成已解决或较易解决的问题。它是解决数学问题中常用的最基本的方法之一变换的形式有：传递形式的变换、符号表达方式的变换、空间关系的变换等。

对数学变换方法在物理学中应用的探索数学方法在物理学中的作用首先，数学方法为物理学提供了量化研究的工具。例如伽利略在进行实验研究时，就用了数学定量分析方法去整理归纳从实验获得的感性材料，把实验方法和数学方法紧密地结合起来；德国天文学家开普勒运用数学方法研究天体力学理论，成功地运用数学公式来表达关于行星运动的三大定律；麦克斯韦通过数学类比及推理，用一组偏微分方程系统地描述了电磁运动的基本规律，把光学、电学和磁学结合在一起了，他采用了矢量分析这样的数学方法，把静电场推广到一般电磁场。

其次，数学方法导致物理新规律的发现和新理论的建立。例如麦克斯韦在用数学方法推导出电磁场方程组的基础上预言了电磁波的存要；爱因斯坦在用数学方法推导出质能关系的基础上预言可以研制原子弹和氢弹。

数学中的变换方法在研究某些复杂的物理问题时，有时可把复杂的问题转化成简单的问题，也即是采用迂回手段来达到目的的数学方法称为数学变换方法。常用的数学变换方法有平均值法、微元分析法和非线性的线性化方法等。

（1）平均值法

所谓平均值法就是把变化因素导致的复杂过程简化为常量因素的简单过程的方法。如在统计物理学中，为了在描述微观粒子的运动规律中获得宏观量如温度、压强、体积、内能和熵等而采用统计平均的方法。又如碰撞过程研究也是应用平均值方法估算冲力的平均值的，因为冲力是个变力，它随时间而变化的关系比较难确定，所以只能估算冲力的平均值。再如，在量子力学中，波函数是描述具有波粒二象性的微观客体量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，微观客体的运动状态就可用波函数来描述了。

（2）微元分析法

如果研究的对象连续分布，例如分布于一定空间内的弹性体（如细杆、细弦、膜等）或流体（一定量的液体或气体），有一定空间分布的能量场（如电场、磁场、流体速度场、物质浓度场、温度场等）。由于连续体处于不同空间的部分，其运动状况不同，所以我们可应用微元分析法选取无穷多个不同空间位置的质点作为研究对象。

对于连续体，建立运动方程时要采用微元分析法。微元分析法将系统中所有微元分为非边界微元和边界微元两部分，我们要研究的是：

1）系统中任一非边界位置处的微元（例如空间的线元、面元、体积元、点电荷元或质量元等）在某时刻的运动。

2）边界面上所有微元在任意时刻的运动（边界条件）及初始时刻系统所有微元的运动（初始条件）。

（3）非线性的线性化方法

物质世界里反映物理量间的关系主要是非线性关系，在物理学理论及实验中可引入非线性物理系统的线性研究方法，即对有非线性关系的一对物理量，可在理论上或实验中限制其中一个物理量在一个宏观小的范围内变化，则两个物理量的关系可近似为线性关系，通过数学或其他手段确定出两个量间的比例系数后就可确定这一对物理量在给定范围内的线性关系。

例如三极管的输入特性和输出特性都是非线性的，因此对放大电路进行定量分析时，主要矛盾是解决三极管的非线性问题。常用微变等效电路法来解决此问题，其实质是在静态工作点附近一个比较小的变化范围内，近似地认为三极管的特性是线性的，由此导出三极管的等效电路以及一系列的微变等效参数，从而将非线性问题转换为线性问题，这样便可以对三极管电路进行求解。

总之，数学是表述和论证物理概念和物理规律的最简练、最系统的语言，也是研究物理学不可缺少的工具，数学方法已成为人们探索物理世界秘密的“金钥匙”。1

数学变换方法在地震勘探中的应用数学变换是当代科学发展中各个领域不可缺少的方法，它为问题的解决提出了一个崭新的方面。在地震勘探领域，数学变换方法也同样扮演着重要的角色，从地震勘探数学模型的求解、偏移方法的改进、信号的分离到地震数据滤波及提高地震数据的信噪比到地震数据压缩等方面都有着广泛的应用。

数学变换的应用潜力不断引起地球物理学家的关注，新的数学变换不断被应用于地震勘探领域，它有着广阔的理论研究和应用前景。研究以现今地震勘探领域常用的数学变换为主，综述了相关的理论以及主要的应用领域，作为进一步研究的预备和基础。

傅立叶变换（1）基本形式及意义

傅立叶变换是在傅立叶级数的基础上发展起来的，傅立叶级数则是Fourier在1807年求解热传导方程时提出的，经过近 200年的发展，傅立叶变换已经在各学科领域得到了广泛应用。

时间域的信号经过傅立叶变换到频率域可以得到分解后各频率谐波成分的振幅与初相位，再对频率域各成分进行相应的改造就可以修改原始信号的性质。地震勘探中的频率滤波技术就是根据傅立叶变换定义进行的处理手段之一。但是其主要缺点是：一个函数要想做傅立叶变换除了满足狄利克雷条件以外，还要在(-∞，+∞)内满足绝对可积的条件，其次函数还必须在整个数轴上有定义，这对于许多物理可实现的函数来说是不满足要求的。

（2）傅立叶变换的应用

傅立叶变换有许多形式，如连续信号的傅立叶变换、离散信号的傅立叶变换、无限长度信号的傅立叶变换、有限长度信号的傅立叶变换。它们只是在形式上有所差别，其实质是一致的。地震勘探中经常使用的是有限长度的离散傅立叶变换，在实际计算时一般采用快速傅立叶变换(FFT)技术，以大幅度提高计算效率。

频域滤波是一种以傅立叶变换为基础的过滤信号的方法。根据傅立叶变换理论，时间域信号可以用它的频谱来表示，二者是完全等价的。如果频谱上某一个范围内的成分对应于时间域记录中的某种非期望成分，那么在频率域中将这个范围之内的能量“拿掉”，然后再将其结果反变换回到时间域中，生成一个新的时间域信号，这个运算过程就等效于在时间域中消除掉了这个非期望的成分。这就是频率滤波的数学基础。如图1(a)为原始地震记录，(b)为应用频域带通滤波去除面波后的结果。

以上介绍的是对一维信号的滤波方法，它主要利用的是信号和噪声的频谱差异来对记录中的噪声进行压制，因此它们是一维信号的频率滤波方法。在地震处理中主要用于单道运算。在地震处理中还广泛应用二维滤波技术，主要应用于地震道集上相干噪声的压制。二维滤波是一维滤波的推广，它是以二维傅立叶变换为基础的。随着数学理论的发展，更多的傅立叶方法不断应用到地震勘探中，如多重傅立叶变换及分数傅立叶变换。但不论其如何发展，都是以最简单的傅立叶变换为基础，只要掌握傅立叶变换的基础理论，便可以进一步应用更多形式的傅立叶变换方法。

拉普拉斯变换一个函数当其除了满足狄氏条件外，还要在(-∞，+∞)内满足绝对可积的条件，其次函数还必须在整个数轴上有定义，这对于许多物理可实现的函数来说是不满足要求的。由此可见，傅立叶变换应用范围受到相当大的限制。由于拉普拉斯变换没有如频谱一样的明确的物理意义，因此它在地震勘探中的应用并没有傅立叶变化那么广泛。但是它有现成的变换表可查，且对于微分方程的求解比较简单，所以这种变换方法常用在地震勘探问题的数学模型求解中，例如应用拉普拉斯变换求解地震反射系数方程。

小波变换在地震资料处理中，傅里叶变换分析了信号能量在各个频率成分中的分布情况，但是其频谱是在整个时间(或空间)轴上的积分，因而信号中的突变信息被丢掉了。显而易见，由傅里叶变换难以确定突变点在时间(或空间)域内的位置。

加窗傅氏变换的主要优点在于，通过窗中心的平移，实现对信号的局部化分析。但由于窗函数g(t-u)具有不变性，因而窗口的大小和形状亦是不变的，即在某一相平面的任何位置上，加窗傅氏变换的分辨率都相同。因此，使人们无法根据信号的变化情况调整分辨率；另外，由于测不准原则的限制，分辨率单元的面积不可能无限小。因此，加窗傅氏变换的分辨率无法在空间域或时间域达到最佳。我们再回到窗函数g(t- u)本身来讨论。当窗很大时，分辨率高；而当窗很小时，分辨率降低，且有严重的吉卜斯现象。

由上述可知，要提高分辨率，降低截断效应，就要有足够的窗口宽度来保证，但在实际问题中往往不可能满足。这样，就提出了一个问题，有没有办法使窗口宽度足够小，而又使分辨率足够高呢? 为此，提出小波变换。

小波变换表现为一系列的褶积运算，对信号进行小波分解，实质上就是对信号用不同的滤波器进行滤波，这些滤波器的脉冲响应就是一系列的小波基，对应不同尺度因子s小波基将信号分解到相应的频带，显然，尺度因子越小，对应频带的中心频率就越高。2

本词条内容贡献者为:

李雪梅 - 副教授 - 西南大学