[科普中国]-横截条件

横截条件(transversal condition)是可动边界的变分问题在端点上满足的条件。具体形式根据函数形式不同有两种。1

概念横截条件(transversal condition)是可动边界的变分问题在端点上满足的条件。假设泛函形如：

1.若A(x0，y0)，B(x1，y1)两端分别在曲线y=φ0(x) 和 y=φ1(x)上变动，则使泛函达到极值的函数y=y(x)，除必须满足欧拉方程：

外，其端点还必须满足条件：

这个条件称为横截条件。

2.若A(x0，y0)，B(x1，y1)两端点所在的曲线分别以隐函数形式φ0(x，y)=0，φ1(x，y)=0给出， 其中φ0，φ1有连续偏导数，且：

则横截条件为：

变分问题有关求泛函的极大值和极小值的问题。最早研究的重要变分问题有：

1.最速降线问题：给定不在同一铅垂线上的两点A和B，求出连结A和B的一条曲线使其具有这样的性质：当质点受重力作用沿着这条曲线由A下滑至B时所需时间为最少。

2.短程线问题：求曲面φ(x，y，z)=0上所给二点间长度最短的曲线。这条最短曲线称为短程线或测地线。

3.基本的等周问题：求长为一定的封闭曲线l，使其所围的面积S为极大。2

变分法亦称变分学，研究泛函极值的一门学科。变分法主要研究泛函的变元函数使泛函达到极值的必要条件和充分条件，并研究求得该变元函数的方法及其性质。变分法的研究方法有直接法与间接法。直接法是直接由泛函去求得极值或判断相应极值问题是否有解；而间接法是先给出泛函达到极值的必要条件：欧拉-拉格朗日方程(亦称为欧拉方程)，然后在满足欧拉-拉格朗日方程的解中，利用各种充分条件来判断变分问题是否有解。

变分法的历史可追溯到古希腊，那时就有了所谓等周问题：在长度一定的封闭曲线中，找出围出最大面积的一条封闭曲线。另一著名的问题即最速落径问题是由伽利略(Galilei，G.)首先提出的.但对变分法实质性研究还是从1696年，约翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)公开向欧洲数学家给出该问题的解开始，洛必达(L'Hospital，G.-F.-A.de)、雅可比(Jacobi，C.G.J.)、约翰第一·伯努利、莱布尼茨(Leibniz，G.W.)、牛顿(Newton，I.)用了不同的方法解决了这个问题。后来欧拉(Euler，L.)和拉格朗日(Lagrange，J.-L.)对这一类问题的研究奠定了变分法的理论基础.变分法这一名词由拉格朗日首次提出来，一直沿用下来。

人们研究变分法，是因为社会和自然诸多领域都存在变分原理的实际背景。社会追求效益，投入一定时，希望产出最大；或产出一定时，希望投入最小.某些现象中，自然也依最简单最有效的方式运行。牛顿在《自然哲学的数学原理》中写到：“自然不做任何徒劳无益的事情，浪费愈多，服务愈少.自然喜欢简单性而不为浮华所动”。现代科学早期就依最优原理表达某些自然规律。这一原理看来在一定程度上反映了宇宙的先验的和谐性，特别吸引那些为知识的统一性和简单性而奋斗的科学家。事实上，确实有许多自然规律可用极值原理来表达。第一个发现这种类型的原理是公元前100年，亚历山大的海伦(Heron，(A))提出的，他用光总走最短路径解释光的反射定律.1662年，费马(Fermat，P.de)从光总是依最快的路径从一点传播到另一点这一假设推导出光折射定律。这一假设现在称为费马原理。大约80年后，莫佩蒂(Maupertuis，P.-L.M.de，普鲁士科学院院长)断言，如果自然发生了什么变化，那么对这一变化所付出的作用量必然是最小的。莱布尼茨对作用引进量纲是“能量×时间”，按照普朗克(Planck，M.)的量子原理(1900年)，这个量是基本量子h的整数倍。在莫佩蒂的著述中，作用原理含糊不清，不十分令人信服，受到伏尔泰(Voltaire)的无情嘲讽。这或许使得拉格朗日将1788年的“分析力学”建立在达朗贝尔原理的基础上而非最小作用原理的基础上，尽管他早在1760年对这一原理已有了相当明确的一般数学提法。很晚以后，哈密顿(Hamilton，W.R.)和雅可比才给这一原理以令人满意的形式，大概是亥姆霍兹(Helmholtz，H.von)把它提高到最普遍的物理规律的行列.20世纪前半期，物理学家主要热衷于用空间时间微分方程描述自然规律，现在最小作用原理又明显回潮。3

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学