[科普中国]-对称双曲型方程组

对称双曲型方程组(system of symmetric hyperbolic equations)是能量不等式最自然地成立的一类方程组。

概念对称双曲型方程组(system of symmetric hyperbolic equations)是能量不等式最自然地成立的一类方程组。当矩阵形式的一阶线性方程组：

的每个Ai(x)都是对称矩阵时，称(1)为一阶对称方程组；若Ai(x)的某一个线性组合：

为正定时，则称(1)为(弗里德里希斯意义下的)对称双曲型方程组。对称双曲型方程组必是通常意义下的双曲型方程组。如果令：

则可将方程组(1)写成：

若γ+γT为正定矩阵(γ表γ的转置)，则称(1)和(2)为正对称方程组，算子L称为正对称算子。弗里德里希斯(Friedrichs，K.O.)成功地把包含椭圆型、双曲型、抛物型和简单混合型方程的适定边值问题归结为正对称方程组的“可容许”边值问题，进行统一地研究。但是在弗里德里希斯的理论中有一个困难：没有给出将给定方程的给定边值问题化为正对称组的可容许问题的统一方法。1

弗里德里希斯美国数学家。1901年9月 28 日生于德国基尔，1983年1月 2 日卒于美国纽约。1925年获格廷根大学博士学位。1925—1937年曾任教于格廷根、亚琛、不伦瑞克等院校。1937年移居美国，任教纽约大学，1943年起任库朗研究所应用数学教授，1953—1967年先后任研究所副所长和所长，1974年退休。1968—1969年任美国数学会副主席。1958年被选为美国艺术与科学学院院士，1959年被选为美国全国科学院院士。他还是格廷根科学院、慕尼黑科学院的通讯院士。

弗里德里希斯的工作涉及数学物理、偏微分方程、弹性与流体力学等。他第一个把希尔伯特空间几何理论用于偏微分算子。1934年，他关于对称椭圆算子半有界扩张的工作开始了用泛函方法研究二阶椭圆方程。他还引入了对称线性双曲微分方程，并证明了初始值问题解的存在性。他曾研究过连续谱算子，并引入了与前向和后向波算子一致的一对算子。

弗里德里希斯于1972年获美国国家科学院应用数学与数值分析奖，1977年获美国国家科学奖章。著有《量子域理论的数学问题》(MathematicalAspects of the Quantum Theo-ry of Fields，1953)、《希尔伯特空间的算子谱理论》(SpectralTheory of Operators in HilbertSpace，1973) 、《电磁理论的数学方法》(Mathematical Methods of ElectromagneticTheory，1974)、《泛函积分》(Integration of Functionals，1976，与人合作)等多种书。1

对称矩阵对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

5.用表示上的内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有X, Y∈，。

6.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：

7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

8.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。

9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。

10.如果X是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵。

11.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学