[科普中国]-可料对偶投影

概念

可料对偶投影(dual predictable projection)是由增过程对可测过程的可料投影积分经对偶关系所产生的投影。设{At}为一增过程。称可料增过程Ap为{At}的对偶投影，如对一切正可测过程X的可料投影X有对偶关系：2

如{At}为局部可积增过程，则它的可料对偶投影存在。

随机过程随机过程是随时间推进的随机现象的数学抽象。设(Ω，ℱ，P)为概率空间，T为指标t的集合，如果对每个t∈T，有定义在Ω上的实随机变量X(t)与之对应，就称随机变量族X={X(t)，t∈T}为一随机过程。

人们对一些特殊的随机过程早有研究。1907年前后，俄国数学家马尔可夫提出并研究一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图式，后人称这种图式为马尔可夫链。1923年，美国数学家N.维纳从数学上定义了布朗运动，后来也称数学上的布朗运动为维纳过程。这种过程至今仍是随机过程的重要研究对象。通常认为，随机过程一般理论的研究于20世纪30年代才开始。1931年，原苏联数学家柯尔莫戈罗夫发表了《概率论的解析方法》;1934年，辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程和平稳过程奠定了理论基础。稍后，法国数学家莱维从样本函数角度研究随机过程，引进一般可加过程并研究了它的样本函数结构，他出版的关于布朗运动与可加过程的两本书中蕴含着丰富的概率思想。1953年，美国数学家J.L.杜布出版的著作《随机过程论》中系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。他的工作推动了鞅理论的发展。1953年日本数学家伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论，定义了对布朗运动的一种随机积分——伊藤积分，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程，而流形上的随机微分方程理论正方兴未艾。20世纪60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面都做出了较好的工作。3

增过程增过程是一类随机过程。指轨道是右连续增函数的随机过程。随机过程{A(t)，t∈R+}称为增过程，如果它的所有轨道A(·，ω)为R+上非负有限值右连续增函数。增过程必为右连左极过程，因而适应增过程为可选过程。增过程{A(t)}称为可积增过程，如果A(+∞)=A(t)是可积随机变量。

可测过程可测过程一种随机过程。指具有某种特殊的二元可测性的随机过程，如果对每一t∈R+，二元函数(s，ω)→X(s，ω)在[0，t]×Ω上的限制是关于B[0，t]×Ft可测的，则随机过程{X(t)，t∈R+}称为{Ft}循序(可测)过程，其中{Ft}t∈R+是上升σ域族。其中B[0，t]=[0，t]∩B是R+的波莱尔σ域B在[0，t]上的限制。{Ft}循序过程必是{Ft}适应和波莱尔可测的。若过程{X(t)}关于其自然σ域族循序可测，则对任何使{X(t)}为适应的上升σ域族{Ft}t∈R+，{X(t)}也是{Ft}循序(可测)过程。

如果随机过程{1H(t，ω)，t∈R+}是{Ft}循序可测的，则R+×Ω的子集H称为{Ft}循序集。全体循序集构成一σ域G。过程{X(t)，t∈R+}循序可测，当且仅当把它看成R+×Ω上的函数时是G可测的。

投影将一个平面的物体的形状投射到另一个平面上去，这个平面称为投影面或影像面。地球表面的测绘是其中的一例(参见“地图投影”〔map projection〕)。物体每一点的影像都是一条直线(投射线)与该影像平面交叉。投射线通过物体各点和定点(投影中心)的称中心投影。投射线与投影面垂直的称正投影。一组影像点构成了投影物体。4