[科普中国]-标值点过程

简介

定义一：

考虑点过程N，对它的每一个点赋予一个辅助的随机变量并把这个辅助变量称作连系于这点的标（mark），这里的标值来自标值空间Y。把这种每一点都带有一个标值的点过程称作标值点过程。

如上图为标值点过程的示例图，左边：标值空间是三个离散值，△，O，+；右边：标值空间是圆的半径。

定义二：

假设Q是(X,Y)上的概率测度，N是X上的点过程。对于X上标值空间为Y的标值点过程我们记为φ，如果有Y1,Y2,...是Y上一系列独立的分布为Q的随机点，则

称为N的Q标值点过程。

标值点过程(marked point process)一种点过程。令点过程的每一点联系一个标值，就得到标值点过程。设{N(t),t}是一基本的点过程，如果对这过程的每一点t(n=1,2,3,...)赋予一个辅助的随机变量u，并称之为联系于该点的标值，变量u随机地取值于某一标值空间au，这种每一点都带有一个标值的点过程即称为标值点过程。而由定义的随机过程则称为伴随的标值累计过程。当标值变量u不含取值0时，标值点过程和它的标值累计过程是一一对应的，因此认为它们是等同的。

标值空间iu可以是一般的抽象空间。但是，为了能够考虑标值的累加，通常要求在Gu中定义有“加法”运算.在一般的标值点过程定义中既不要求标值{u}是独立随机变量序列，也没有规定标值要独立于基本点过程一般的标值点过程应用范围很广，复合泊松过程可以看做是一类特殊的标值点过程。1

引理引理一：对于标值空间为Y的标值点过程X是一个X×Y的点过程。

引理二：若N是X上的点过程，均值强度为 ，φ是N的Q标值点过程。则φ的均值强度为 。

标值点过程应用标值点过程是一种有效的建模方法，在很多领域得到了广泛的应用，本章将详细介绍标值点过程理论，讨论其模拟方法和优化算法，并给出使用标值点过程进行目标提取的基本框架。

标值点过程用于目标提取，主要有两个优势,一、该方法是一种面向对象的方法二、该方法是基于统计框架的。下面从这两个方面进行介绍。

从像素到对象传统的道路提取的方法一般是建立在基于像素级别的光谱信息分析的基础上，它们的共同特征是主要使用图像的强度量即灰度值的统汁信息，而对地物形状、结构等信息的分析很少涉及。在高分辨率图像中，道路表现为具有一定的宽度的“面状物”，具有丰富的细节信息，并存在较多的噪声干扰车辆、树木、阴影等，使用像素级方法一般很难得到较好的提取结果。面向对象的思想来源于软件工程领域，其特点是将影像对象作为影像分析的基本单元。影像对象是指影像分割后若干“同质”像素的集合。在很多特征信息提取的问题中，能够完整表现目标特征的并非单个像元，而是那些“同质”像素的集合，因此，基于对象的分析方法更符合实际情况，能更好地利用目标的特征。采用面向对象的方法有以下优势一、可以较好的解决噪声问题，噪声区域将和其周边的像元一起合并到特定的影像对象中去二、可充分利用目标的几何结构特征长、宽等和光谱特征方差、均值等三、可充分利用目标的空间特征距离、方向等，使专家知识能直接指导图像分析。基于标值点过程提取目标的方法是一种面向对象的方法。这种方法根据对象的几何特征建立模型，根据目标的光谱特性建立数据项,根据目标的拓扑性质等空间特性建立先验项。2

统计方法标值点过程的方法克服了MRF的不足。它从对象的角度建立目标的模型，每个标值点可以表示复杂的结构，可以较好的解决噪声问题。而且，这种方法可以通过定义标值点之间的相互关系来描述目标形状和全局结构。

点过程定义描述随机点分布的随机过程。很多随机现象发生的时刻、地点、状态等往往可以用某一空间上的点来表示。例如，服务台前顾客的到来时刻，真空管阴极电子的发射时刻，可表为实轴上的点。又如，天空中某一区域内星体的分布，核医疗中放射性示踪物质在人体器官的各处出现，不同能级地震的发生，都可用二维以上空间的点表示。点过程就是描述这类现象的理想化的数学模型。它在随机服务系统、交通运输、物理学和地球物理学、生态学、神经生理学、传染病学、信息传输、核医疗学等很多方面都有应用。

对于X的点过程是从一个概率空间到(N,N)的一个可度量映射N。N是最小域可数子集。

其中，是示性函数。

应用随机测度的收敛与极限问题相应于测度序列的各种收敛性，可以定义随机测度（随机点过程）的弱收敛强收敛、淡收敛、依分布收敛等（见概率论中的收敛），=。并可研究其相互关系，从而进一步研究在一定条件下随机测度序列收敛到某个特殊随机测度的问题。这一类问题与无穷可分点过程理论密切相关。一个有趣的结果是：相互独立的随机点过程的叠加，若满足所谓一致稀疏条件，则叠加过程收敛于泊松过程。它与中心极限定理中独立随机变量的标准化部分和收敛于正态分布的结果相似。类似于特征函数与母函数（见概率分布）在研究随机变量的分布及其极限理论中的作用，对于点过程，也可以定义概率母泛函与拉普拉斯泛函，作为研究其极限问题的重要工具。

点过程与随机几何60年代后，由于自然科学和其他实际问题的需要，产生了大量与点、线、面等几何元素的随机分布有关的概率问题，它们属于随机几何的范畴。例如，研究细胞核中成对染色体的相对位置，需要求出在两同心圆上均匀分布的两随机点距离的概率分布，由研究声波反射而提出的求平均路长问题等。布丰的投针问题(见概率)可能是最早的这类问题之一，它求出了随机抛一枚针与一组等距离的平行线不相交的概率，从而可以用实验的方法求得圆周率π的近似值。点过程及其进一步的发展还与随机几何相联系,产生了线过程、面过程、超平面过程、随机分叉树等模型，它们又可以经过一定的变换，变为某一个流形上的点过程。例如平面上的一条直线，它以与原点的距离及与坐标轴的交角为参数，可以对应柱面上一点，因而平面上的随机线过程可以表为柱面上的随机点过程。3