[科普中国]-自激点过程

自激点过程(self-exciting point process)是一类强度可以依赖于过程自身历史的点过程.齐次泊松过程的强度是一常数，如果允许强度随时间t改变就得到带时倚强度的泊松过程。如果再允许强度在任一时刻t的值除了依赖于t之外，还与过程在这时刻的点数N(t)有关，则得到的是非齐次纯生过程。现在，若进一步假设过程在任一时刻t的强度除了依赖于t和N(t)之外，还可能与在时刻t前发生的N(t)个点的位置有关，换句话说，依赖于过程在时刻t之前(包含t)的全部历史，于是就得到更广泛一类的点过程——自激点过程。

自激点过程的定义在数学上，自激点过程被定义为满足下述条件的计数过程：对任意实数和，

其中依次是过程的第一，第二，……，第个点发生时刻。在某些文献的定义中还加上有序性条和对初始状态的规定：。

注意自激点过程的强度λ不仅随时间t变化，而且还是过程的现实ω的函数，即强度本身是一随机过程，但它受点过程自身的演化制约1。

如果计数过程 满足： 且对于小时间h有

则称为自激点过程，而随机过程

称为其强度过程2。

自激点过程 称为m-记忆的，如果

即强度过程只依赖最近发生的m个事件的时刻，而与 无关。

最简单的是 的情形，这是无记忆(0-记忆)的自激点过程情形，即下面的定义。

定义1计数过程 称为无记忆的自激点过程，如果 满足: 且存在正值函数 使对于小的h有

由此可见，无记忆的自激点过程是条件非时齐Poisson过程。

例1年龄 的 个人的群体在时刻 以前的死亡人数(死亡计数过程) 可以用无记忆的自激点过程建模，其强度过程为 其中 是年龄为 的死亡率，

无记忆的自激点过程的有限维分布

无记忆的自激点过程 在有限个时刻上的联合分布为: 对于 整数

其中

自激点过程的条件强度过程定义2

称为自激点过程的条件强度过程。

于是，对于自激点过程有

自激点过程的绝对概率仿照初等概率论中Poisson过程的绝对概率的推导，可以得到2

同样仿照初等概率论中Poisson过程的绝对概率的推导，我们得到下面的结论。

命题1 自激点过程的绝对概率满足如下的(常微分方程组)

这是一个非时齐的单侧纯生过程，可以用归纳法求得其解为

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学