[科普中国]-定时对策

定时对策(game of timing)是一类特殊的两人无限零和对策，是单位正方形上的对策，局中人寻求纯策略表达和采取行动的时间选择。20世纪50年代，曾用这类对策解决了一些军事问题，特别是建立了一些空军战略和空战的模型，得出了一些有意义的结果。

基本介绍定义在单位正方形上的无限对策，如果它的支付函数取下列形式：

其中都是连续函数，但在正方形的对角线不连续，这种对策称为定时对策(games of timing)。

相关概念与分析定时对策的典型例子是决斗(duel)。假定有两个决斗者(局中人)，每个局中人只有一粒子弹，在时间区间中开枪。开枪时间越晚，离对手越近，命中率越高。但是，离对手越近，被对手击中的可能性越大。因此，决斗双方都需选择一个最优策略——适当的时机开枪。这个例子可以用来描述军事战争，如决斗者换成空战双方只携带一枚导弹的战斗机；也可用来描述商业行动：如两个占有同一市场的寡头，双方都想把对手挤出市场，用降低价格的方法进行倾销。前者在第二次世界大战中得到充分研究，后者在40 年代和50 年代也有过不少研究。下面给出这一类对策的数学模型1。

以“无声决斗”(silent duel)为例。两个局中人(决斗者)在相距2 时同时面向而行，每个局中人在时间单位中只开枪一次，它不知道对手是否被击中，当局中人1在处开枪，击中对手的概率为，局中人2在处开枪，击中对手的概率为。

设是连续单调减函数(距离越远，命中率越低)，且。如果局中人1击中对手而自己没有损伤(对手没开枪或者开枪没有命中)吗，其支付为1。

如果局中人1被击中，则支付为-1。如果双方打成平手，即同时没命中或同时命中，双方的支付均为0。该对策的支付函数为

求解这个对策，从数学角度看来，其主要难点是极可能在处不连续。为解决这个难题，这里引进最优策略和sup-inf值概念。

定义 设两人零和对策的支付函数有界，如果

其中

则称为该对策的sup-inf值。设和为实数，满足

其中是对策的sup-inf值，则称F*和G*分别为局中人1和局中人2 的最优策略，称为该对策的值1。

定理设单位正方形上对策的支付函数为

，其中分别是定义在

上的连续函数，满足

则该对策有sup-inf值，且对，每个局中人至少有最优策略1。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学