[科普中国]-超指数分布

超指数分布(hyperexponential distribution)是一种概率分布。有k个平行的服务台，服务时间均服从负指数分布，平均服务时间分别为1/μi(i=1，2，…，k)，一个顾客到达后以概率αi选取第i个服务台，但直到正在接受服务的顾客服务完成之前，不允许新的顾客在别的服务台处接受服务，这样顾客的服务时间分布就服从k阶超指数分布。

概念超指数分布(hyperexponential distribution)是一种概率分布。有k个平行的服务台，服务时间均服从负指数分布，平均服务时间分别为1/μi(i=1，2，…，k)，一个顾客到达后以概率αi选取第i个服务台，但直到正在接受服务的顾客服务完成之前，不允许新的顾客在别的服务台处接受服务，这样顾客的服务时间分布就服从k阶超指数分布。1

超指数分布(hyperexponential distribution)亦称“混合指数分布”。由指数分布密度的线性组合所决定的概率分布。称随机变量X服从m级超指数分布，参数为(p1，…， Pm;λ1，…，λm)，如果它有概率密度：

其中pi>0，。其Υ阶矩

为一级超指数分布，即“指数分布”。设随机变量Xi(i=1，…，m)服从指数分布，参数为λi，而随机变量X以概 率pi等于Xi，则X服从m级超指数分布，参数(p1，…，pm;λ1，…，λm)。假设一仓库存放的某种电器元件来自 m个厂家，其中第i家工厂的产品占100pi%，使用寿命服从参数为λi的指数分布，则从该仓库随意提取 一个元件的使用寿命由超指数分布描绘。2

概率分布事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即必须知道随机试验的概率分布(probability distribution)。为了深入研究随机试验，我们要引入随机变量(random variable)的概念。

随机变量的所有可能取值及其对应的概率构成概率分布。它反映了随机变量的特征，用来描述随机变量的变化。有离散随机变量概率分布，连续随机变量概率分布和奇异随机变量概率分布三种基本类型。分别简称为离散分布、连续分布和奇异分布。常见的有离散分布和连续分布两种基本类型。离散分布用以描述可数或可枚举的资料，如企业职工人数等。连续分布用以描述连续变化数值的资料，如产品重量、测量误差等。

常用的重要概率分布有三个： 高斯分布、二项分布和普阿松分布。

指数分布在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。

指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。

指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布。但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。3

概率密度概率指事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。

对于随机变量X的分布函数F(x)，如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意实数x，有：

则X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度。

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

电子运动的状态有波函数Ψ来描述，|Ψ|²表示电子在核外空间某处单位体积内出现的概率，即概率密度。处于不同运动状态的电子，它们的|Ψ|各不相同，|Ψ|²当然也不同。密度大则事件发生的分布情况多，反之亦然。若用黑点的疏密程度来表示各个电子概率密度的大小，则|Ψ|²大的地方黑点较密，其概率密度大，反之亦然。在原子和外分布的小黑点，好像一团带负电的云，把原子核包围起来，人们称它为电子云。

1926年，奥地利物理学家薛定谔运用偏微分方程，建立了描述微观粒子运动的波动方程，即薛定谔方程。由薛定谔方程式的可知，对于一个质量为m，在势能为V的势场中运动的微粒来说，有一个与这个微粒运动相联系的波函数ψ，这个波函数就是薛定谔方程的一个合理的解，每一个解都与相应的常数E对应，就是微粒在这一运动状态的能量（或能级）。|Ψ|²表示原子核外空间某点P(x,y,z)处电子出现的概率密度，即在该点处单位体积中电子出现的概率。用来表示概率密度的几何图形俗称电子云，电子云并非众多电子弥散在核外空间，而是电子在核外空间各处出现的概率密度的形象表现。4

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学