[科普中国]-简化牛顿法

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牛顿法原理把非线性函数 在 处展开成泰勒级数

取其线性部分，作为非线性方程的近似方程，则有

设 ，则其解为

因为这是利用泰勒公式的一阶展开， 处并不是完全相等，而是近似相等，这里求得的 并不能让 ，只能说 的值比 更接近 ，于是乎，迭代求解的想法就很自然了，

再把f(x)在x1 处展开为泰勒级数，取其线性部分为 的近似方程，若 ，则得 如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式： ，通过迭代，这个式子必然在 的时候收敛。整个过程如右图：

例1 用牛顿法求方程 在 内一个实根，取初始近似值=1.5。 解 所以迭代公式为：

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牛顿法运算方法导数法这里将简单介绍一下牛顿二阶导数法。对其几何意义及收敛性不作详细的叙述，读者可仿照牛顿法进行讨论。

将f(x)在x0处展开泰勒级数f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-xo )+ f″(x0)(x- x) +…

取右端前三项近似代替f(x)，于是得f(x)=0的近似方程为

f( )+f′( )(x- )+ f″( )(x- ) =0

也即f( )+(x- )[f′( )+ f″( )(x- )] =0 (3)

设其解为 .利用(1)， - =- ，代入(3)中括号内 - ,则得f( )+( - ) [f′( )+ f″( ) ] =0

于是解出 ，得 = -

重复以上过程得： = -

于是得牛顿二阶导数法的迭代公式为：

= - n=0,1,2,… (4)

上式与牛顿法迭代公式(2)相比，利用此公式求根收敛更快，迭代次数更少。其缺点是要求f(x)的二阶导数存在。

切线法这是一个由开方公式引出的：

X(n+1)=Xn+(A/X^(k-1)-Xn)1/k (5)（n,n+1表示下角标）

开立方公式：

当（5）式中的K=3时就是开立方公式。

设A = X^3,求X.称为开立方。 开立方有一个标准的公式：

X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n，n+1是下角标）

例如，A=5，,即求

5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：

第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。

即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值,，即1.7。

第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.

第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;

当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。

如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即

X（n + 1） = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2 （n，n+1是下角标）

例如，A=5：

5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；

即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。3

简化牛顿法为了减少牛顿法的计算量，在每步计算中用F'(x^0)代替F'(x^k)，得简化牛顿程序：

，其中k从0开始取值。

于是由x^k计算x^(k+1)只需计算F(x^k)，不再计算F'(x^k)及求逆，使每步计算量大大减少，这是此算法的优点，其缺点是收敛慢，只有线性收敛速度。

迭代法是方程求根最常用的方法，其基本思想是一种逐次逼近的方法。即首先给定一个粗糙的初始值，然后用同一个迭代公式反复校正这个初值，直到满足预先给出的精度要求为止，该方法的关键是如何构造一个合适的迭代表达式。

对于非线性方程f(X)= 0，牛顿法所构造的迭表达式为：

XN+ 1= XN-f(X)/f′(X)

牛顿法每迭代一次，都需要计算f'(X)的值，若f(X)比较复杂，计算f'(X)的工作量就可能很大，此时用一个给定的常数c来代替f'(X)值，这时迭代表达式就成为：

XN+ 1= XN-f(X)/c

这就是简化牛顿法迭代表达式，选取一个合适的c值代入上式，即可用此迭代表达式计算。4