[科普中国]-庞加莱引理

背景

1872年玻耳兹曼在研究实际热力学过程的不可逆性即热力学第二定律的微观本质时，曾根据非平衡态的分布函数f（r，v，t）定义了一个函数H，并证明在孤立系统以非平衡态趋于平衡态的过程中，H随时间单调下降，在平衡态达到最小值，这就是H定理。玻耳兹曼认为，H函数与熵对应，H的减少与熵的增大对应 ，H定理为热力学第二定律提供了统计解释。

但是庞加莱定理似乎与H定理相矛盾。根据庞加莱定理，当H函数随时间单调地减少之后，只要经过足够长的时间，总可以重新增大，回复到初始的数值。对此，玻耳兹曼的回答是，H定理具有统计性质，即非平衡态总是以绝对优势的概率趋于平衡态，逆过程并非完全不可能，只是概率极其微小。

定义庞加莱引理(Poincare Lemma)论述单位球上微分形式的零调性质。该引理断言:若U是欧氏空间Rn中开单位球体，r(U)是U上微分k形式的空间，则对每个k，1，存在一个线性变换

这个引理有两个推论:

1。若。是R”中开单位球体上的一个k形式，且dm=0，则存在一个((k一1)形式月使得d月一、

2。 R”中开单位球的德拉姆上同调群对于p)l都为零。1

庞加莱猜想1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现其中的错误，修改为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

大于等于五维的庞加莱猜想被斯蒂芬·斯梅尔证明；

四维的庞加莱猜想被迈克尔·弗里德曼证明；

三维的庞加莱猜想被俄罗斯数学家佩雷尔曼于2002-2003年证明。

他们分别获得1966年，1986年和2006年菲尔兹奖。

相关论述力学体系运动可复性的定理。1872年L。玻耳兹曼在他的《气体理论》一文中证明了一个重要的定理──H定理。H定理断定：一个处于非平衡态的系统总是要单调地趋向平衡；而一个已经达到平衡的系统再自动地趋向非平衡是不可能的。那么，自然会提出这样的问题:平衡系统自动趋向非平衡是否完全不可能？如果不是完全不可能的，其可能性有多大？1896年E。策尔梅洛就根据J。-H。庞加莱定理研究了运动的可复性问题。

1890年庞加莱证明了下述定理:系统的Γ相空间（见相宇）中除了一个测度为零的点集以外，在t=0时使系统从相空间中任何一有界点P出发，则对于任意给定的一个小距离ε>0，都存在一个有限的时间t(ε)，在这时间间隔内，系统必经过相空间的一点P‵，而。

由此定理可以看出运动的可复性。因为从中可以得到结论：放在封闭容器内的任何一个力学体系经过足够长的时间后，总要回复到任意接近初始状态的那个状态上。由此可见，当H函数随时间单调地减少以后，只要经过足够长的时间，它将回复到初始的数值。这个结论似乎同宏观不可逆性相抵触，同玻耳兹曼H定理相矛盾。

玻耳兹曼对上述矛盾作了明确的回答:H定理具有统计的性质，它只是说非平衡态总以绝对优势的几率趋向平衡态，没有完全否定由平衡态趋向非平衡态的可能性，并不完全排斥H的值偶然增加，运动回复到原状，只是几率极其微小，因此反映统计规律的宏观不可逆性同微观可逆性并不矛盾。庞加莱定理虽然说明力学系统经过充分长的时间后总可以回复到初始状态附近，但是，根据庞加莱的证明，对于一般的气体或液体，若单位体积含有的粒子数为1023的数量级，那么回复时间的数量级约为秒，它比迄今知道的宇宙寿命还要大很多的数量级，比趋向平衡的时间大得简直不可估量，它对所有宏观物体来说，实际上可以看作是无穷大。于是得出结论：从熵小的状态走向熵大的状态几乎是必然的；而从熵大的状态走向熵小的状态几乎是不可能的。玻耳兹曼 H定理和庞加莱定理可以相容。2